Răspuns:
1. **Determinarea prețului inițial al obiectului:**
Notăm prețul inițial al obiectului cu \( P \). După ce se scumpește cu 12%, prețul devine \( P + 0.12P = 1.12P \). Apoi, după ce scade cu 25%, prețul devine \( 1.12P - 0.25(1.12P) = 168 \). Putem rezolva ecuația pentru a găsi prețul inițial al obiectului.
\( 1.12P - 0.28P = 168 \)
\( 0.84P = 168 \)
\( P = \frac{168}{0.84} \)
\( P = 200 \)
Deci, prețul inițial al obiectului este 200 de lei.
2. **Determinarea numărului de elevi din clasă:**
Notăm numărul de fete din clasă cu \( F \) și numărul de băieți cu \( B \). Avem următoarele informații:
- \( B = \frac{1}{3}F \)
- \( B + 4 = \frac{3}{4}(F - 6) \)
Putem folosi aceste ecuații pentru a găsi valorile lui \( F \) și \( B \), iar apoi să calculăm numărul total de elevi din clasă.
Substituim \( B \) din prima ecuație în a doua ecuație:
\( \frac{1}{3}F + 4 = \frac{3}{4}(F - 6) \)
Rezolvăm pentru \( F \):
\( \frac{1}{3}F + 4 = \frac{3}{4}F - \frac{9}{2} \)
\( \frac{1}{3}F - \frac{3}{4}F = - \frac{9}{2} - 4 \)
\( -\frac{1}{12}F = -\frac{17}{2} \)
\( F = 51 \)
Folosind prima ecuație, găsim că \( B = \frac{1}{3} \times 51 = 17 \).
Numărul total de elevi este \( F + B = 51 + 17 = 68 \).
Deci, în clasă sunt 68 de elevi.
3. **Determinarea numărului de bănci și a elevilor din sală:**
Notăm numărul de bănci cu \( B \) și numărul de elevi cu \( E \). Avem următoarele informații:
- Dacă elevii sunt așezați câte doi în bancă, atunci două bănci rămân libere și într-o bancă stă un singur elev.
- Dacă elevii sunt așezați câte 3 în bancă, atunci 7 bănci rămân libere și într-o bancă stau doar doi elevi.
Putem folosi aceste informații pentru a găsi valorile lui \( B \) și \( E \).
Din prima informație, avem:
\( 2(B-2) + E = 7B \) (1)
Din a doua informație, avem:
\( 3(E-14) + 2 = B \) (2)
Putem rezolva aceste două ecuații pentru a găsi valorile lui \( B \) și \( E \).
Din ecuația (2), putem rezolva pentru \( B \):
\( 3(E-14) + 2 = B \)
\( 3E - 42 + 2 = B \)
\( 3E - 40 = B \) (3)
Înlocuim valoarea lui \( B \) din ecuația (3) în ecuația (1):
\( 2((3E - 40) - 2) + E = 7(3E - 40) \)
\( 2(3E - 42) + E = 21E - 280 \)
\( 6E - 84 + E = 21E - 280 \)
\( 7E - 84 = 21E - 280 \)
\( 14E = 196 \)
\( E = 14 \)
Folosind ecuația (3) pentru a găsi \( B \):
\( B = 3E - 40 = 3 \times 14 - 40 = 42 - 40 = 2 \)
Deci, numărul de bănci este 2, iar numărul de elevi este 14.
