Notăm P(n) propoziția;
[tex] P(n): \sqrt{1} + \sqrt{2} +\sqrt{3} +\ldots+ \sqrt{n} > 2n-2 [/tex]
Etapa 1. verificăm n=4(cea mai mică)
[tex] P(4): \sqrt{1}+\sqrt{2} +\sqrt{3}+\sqrt{4}>2\cdot4-2 \\ 1+\sqrt{2}+\sqrt{3}+2 >6 \\ \sqrt{2}+\sqrt{3}>3 \big|^2 \\ 2+2\sqrt{6}+3>9 \\ 2\sqrt{6}>4 \\ \sqrt{6}>2 \\ \sqrt{6} >\sqrt{4} \ Adevarat [/tex]
2. Etapa demonstrației. Presupunem că P(k) este propoziție adevărată și după Demonstrăm că P(k) ⇒ P(k+1) .
[tex] P(k): \sqrt{1} +\sqrt{2} +\ldots+ \sqrt{k} >2k-2 \ adev \\ P(k+1): \sqrt{1}+\sqrt{2}+\ldots+ \sqrt{k+1} >2(k+1)-2 [/tex]
Pornim de la propoziția pe care am presupus ca este adevărată:
[tex] \sqrt{1}+\sqrt{2}+\ldots + \sqrt{k} >2k-2 \ \big| +\sqrt{k+1} \\ \sqrt{1} +\sqrt{2}+\ldots + \sqrt{k+1} > 2k-2+\sqrt{k+1} [/tex]
Deci trebuie să arătăm ca:
[tex] 2k-2+\sqrt{k+1} > 2(k+1)-2 \\ 2k-2 +\sqrt{k+1} >2k \\ -2 +\sqrt{k+1}>0 \\ \sqrt{k+1} >2 \ \big|^2 \\ k+1>4 \\ k>3 \implies adevarat [/tex]
Este adevărat deoarece k>=4.
[tex] \implies P(k+1) \ adevarat \\ \implies \tt P(n) \ adevarat [/tex]
A doua inducție.
Notăm P(n) propoziția;
[tex] P(n): \sqrt{1} + \sqrt{3} +\sqrt{5} +\ldots+ \sqrt{2n-1} > 2n-2 [/tex]
Etapa 1. verificăm n=2(cea mai mică)
[tex] P(2): \sqrt{1}+\sqrt{3} >2\cdot2-2 \\ 1+\sqrt{3} >2 \\ \sqrt{3}>1 \ Adevarat [/tex]
2. Etapa demonstrației. Presupunem că P(k) este propoziție adevărată și după Demonstrăm că P(k) ⇒ P(k+1) .
[tex] P(k): \sqrt{1} +\sqrt{3} +\ldots+ \sqrt{2k-1} >2k-2 \ adev \\ P(k+1): \sqrt{1}+\sqrt{3}+\ldots+ \sqrt{2k+1} >2(k+1)-2 [/tex]
Pornim de la propoziția pe care am presupus ca este adevărată:
[tex] \sqrt{1}+\sqrt{3}+\ldots + \sqrt{2k-1} >2k-2 \ \big| +\sqrt{2k+1} \\ \sqrt{1} +\sqrt{3}+\ldots + \sqrt{2k+1} > 2k-2+\sqrt{2k+1} [/tex]
Deci trebuie să arătăm ca:
[tex] 2k-2+\sqrt{2k+1} > 2(k+1)-2 \\ 2k-2 +\sqrt{2k+1} >2k \\ -2 +\sqrt{2k+1}>0 \\ \sqrt{2k+1} >2 \ \big|^2 \\ 2k+1>4 \\ 2k>3 \\ k>\dfrac{3}{2} \implies k>1,5 \implies adevarat [/tex]
Este adevărat deoarece k>=2.
[tex] \implies P(k+1) \ adevarat \\ \implies \tt P(n) \ adevarat [/tex]
