Explicație pas cu pas:
1. Formula lui Arc:
Formula lui Arc este o metodă generală de calcul al lungimii curbei. Se bazează pe ideea că lungimea curbei este egală cu suma lungimilor elementelor infinitezimale de-a lungul curbei.
Formula este:
L = ∫(√(dx² + dy²)) ds
Unde:
* L este lungimea curbei.
* ds este elementul infinitesimal de lungime de-a lungul curbei.
* dx și dy sunt derivatele prime ale funcției x(t) și y(t) cu privire la t.
2. Formula lui Frenet-Serret:
Formula lui Frenet-Serret este o metodă mai specifică de calcul al lungimii curbei. Se bazează pe curbura curbei și pe tangenta curbei.
Formula este:
L = ∫(κ ds)
Unde:
* L este lungimea curbei.
* κ este curbura curbei.
* ds este elementul infinitesimal de lungime de-a lungul curbei.
3. Formula lui Green:
Formula lui Green este o metodă de calcul al lungimii curbei care utilizează integrala de linie.
Formula este:
L = ∫C |dy/dx| ds
Unde:
* L este lungimea curbei.
* C este curba a cărei lungime este calculată.
* dy/dx este derivata primei a funcției y(x) cu privire la x.
* ds este elementul infinitesimal de lungime de-a lungul curbei.
Exemplu:
Să calculăm lungimea curbei y = x^2 între punctele (0, 0) și (2, 4).
Soluție:
* Folosim formula lui Arc:
L = ∫(√(dx² + dy²)) ds
L = ∫(√(1 + 4x^2)) ds
L = ∫(√(4x^2 + 1)) dx
L = (1/2) * (4x^2 + 1)^(1/2) |_0^2
L = (1/2) * (5) - (1/2) * (1)
L = 2
* Folosim formula lui Frenet-Serret:
L = ∫(κ ds)
L = ∫(2x ds)
L = 2x^2 |_0^2
L = 8 - 0
L = 8
* Folosim formula lui Green:
L = ∫C |dy/dx| ds
L = ∫(2x) ds
L = x^2 |_0^2
L = 4 - 0
L = 4
Concluzie:
Lungimea curbei y = x^2 între punctele (0, 0) și (2, 4) este de 2, 8 sau 4, în funcție de formula utilizată.
Notă:
Rezultatele diferite se datorează faptului că formulele utilizează abordări diferite pentru a calcula lungimea curbei. Formula lui Arc este o metodă generală, dar poate fi dificil de utilizat pentru curbe complexe. Formula lui Frenet-Serret este o metodă mai specifică, dar necesită cunoașterea curburii curbei. Formula lui Green este o metodă de calcul al lungimii curbei care utilizează integrala de linie.