Explicație pas cu pas:
a) Pentru a demonstra că AN este perpendicular pe AC, vom arăta că triunghiurile ANB și AMC sunt triunghiuri dreptunghice și că unghiul ANB este complementar cu unghiul AMC, deoarece unghiul ANB + unghiul AMC = 90 de grade.
Triunghiurile ANB și AMC sunt dreptunghice deoarece AN este paralel cu BM (deci unghiul ANB este drept), iar AH este perpendicular pe BC (deci unghiul AMC este drept).
Pentru a demonstra că unghiul ANB este complementar cu unghiul AMC, putem observa că unghiurile AHB și AMC sunt unghiuri suplementare, deoarece ele sunt opuse la vertice într-un patrulater convex AHBH, deci unghiul AHB + unghiul AMC = 180 de grade. Dar unghiul AHB este drept (deoarece H este ortocentrul), așadar, unghiul AMC este complementar cu unghiul ANB.
Prin urmare, deoarece unghiul ANB este complementar cu unghiul AMC și ambele sunt drepte, AN este perpendicular pe AC.
b) Pentru a determina măsurile unghiurilor NAB și ACH, putem folosi proprietățile triunghiurilor și unghiurilor.
Unghiul NAB este egal cu unghiul complementar al unghiului ANB, deci NAB = 90° - unghiul ANB. Unghiul ANB este egal cu unghiul AHB (deoarece ABHN este un patrulater ciclic și unghiul suplimentar al unghiului ANB este unghiul AHB), iar unghiul AHB este egal cu unghiul ACH (deoarece ambele sunt unghiuri drepte). Prin urmare, unghiul NAB este egal cu 90° - unghiul AHB.
Unghiul ACH este egal cu unghiul complementar al unghiului HAC, deci ACH = 90° - unghiul HAC. Dar unghiul HAC este egal cu unghiul B (deoarece AH este perpendicular pe BC, deci HAC este complementar cu unghiul B). Prin urmare, unghiul ACH este egal cu 90° - unghiul B.
