1. O funcție impară este o funcție matematică care are proprietatea că rezultatul său este diferit de zero atunci când argumentul este un număr impar. Cu alte cuvinte, dacă introducem un număr impar într-o funcție impară, vom obține întotdeauna un rezultat diferit de zero.
--------------------------------------------------------------------
2. a) Imagina funcției f este mulțimea tuturor valorilor pe care le poate lua funcția f pentru diferite valori ale lui x. Pentru a stabili imaginea funcției f, putem găsi valorile minime și maxime pe care le poate lua funcția f în intervalul dat [5, 250].
Pentru a găsi valorile minime și maxime, putem lua în considerare faptul că coeficientul lui x în funcția f este -2. Asta înseamnă că funcția f este o funcție descrescătoare. Astfel, valoarea maximă pe care o poate lua f este pentru x = 5 și valoarea minimă pentru x = 250.
Calculând f(5), obținem f(5) = -2 * 5 + 3 = -10 + 3 = -7.
Calculând f(250), obținem f(250) = -2 * 250 + 3 = -500 + 3 = -497.
Prin urmare, imaginea funcției f este intervalul (-497, -7].
b) Pentru a afla preimaginea elementului -397 în funcția f, trebuie să găsim valorile lui x pentru care f(x) este egal cu -397. Putem folosi formula funcției f și să rezolvăm ecuația -2x + 3 = -397.
-2x + 3 = -397
-2x = -400
x = -400 / -2
x = 200
Prin urmare, preimaginea elementului -397 în funcția f este x = 200.
--------------------------------------------------------------------
3. Pentru a studia paritatea funcției f(x) = x³ - 2x⁵, trebuie să analizăm comportamentul funcției în raport cu simetria axei y și simetria axei x.
Începând cu simetria axei y, putem observa că funcția f(-x) = (-x)³ - 2(-x)⁵ = -x³ + 2x⁵. Dacă comparăm această expresie cu funcția inițială f(x), putem observa că nu sunt identice. Prin urmare, funcția f(x) nu are simetrie față de axa y și nu este o funcție pară.
În ceea ce privește simetria axei x, trebuie să verificăm dacă f(-x) = -f(x) pentru orice valoare a lui x. Calculând f(-x) = (-x)³ - 2(-x)⁵ și -f(x) = -(x³ - 2x⁵), putem observa că aceste expresii nu sunt identice. Prin urmare, funcția f(x) nu are simetrie față de axa x și nu este o funcție impară.
Concluzia este că funcția f(x) = x³ - 2x⁵ nu este nici pară, nici impară.
-------------------------------------------------------------------
4. Pentru a stabili monotonia funcției f(x) = 2x + 1 pe intervalul (0, infinit), putem analiza derivata funcției.
Derivând funcția f(x) = 2x + 1, obținem f'(x) = 2.
Deoarece derivata este constantă și pozitivă pentru orice valoare a lui x, putem concluziona că funcția f(x) = 2x + 1 este strict crescătoare pe intervalul (0, infinit).
În concluzie, funcția f(x) = 2x + 1 este monotonic crescătoare pe intervalul (0, infinit).
--------------------------------------------------------------------
5. a) Pentru a calcula compunerea funcțiilor f ○ g, trebuie să înlocuim x în funcția f cu rezultatul funcției g(2).
Începem prin calculul valorii funcției g(2):
g(2) = 2² - 3(2) = 4 - 6 = -2
Apoi, înlocuim x în funcția f cu -2:
f(-2) = 2(-2) + 3 = -4 + 3 = -1
Astfel, (f ○ g)(2) = -1.
b) Pentru a rezolva ecuația (g ○ f)(x) = 0, trebuie să găsim valorile lui x pentru care compunerea funcțiilor g și f este egală cu zero.
Începem prin calculul compunerii funcțiilor g și f:
(g ○ f)(x) = g(f(x))
Înlocuim f(x) în funcția g:
g(f(x)) = (f(x))² - 3(f(x))
Înlocuim f(x) cu expresia 2x + 3:
(g ○ f)(x) = (2x + 3)² - 3(2x + 3)
Simplificăm expresia:
(g ○ f)(x) = 4x² + 12x + 9 - 6x - 9
(g ○ f)(x) = 4x² + 6x
Pentru a rezolva ecuația (g ○ f)(x) = 0, trebuie să găsim valorile lui x pentru care 4x² + 6x = 0.
Putem factoriza această ecuație:
x(4x + 6) = 0
Astfel, avem două soluții:
x = 0 sau x = -3/2.
