Identificam termenul general și îl simplificăm, ca să vedem cum ar arăta fiecare termen în parte, doar ca forma simplificată.
[tex] \dfrac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}} [/tex]
Observăm ca trebuie să raționalizăm
[tex] \dfrac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}} =\dfrac{\sqrt{k} -\sqrt{k+1}}{\sqrt{k}^2 -\sqrt{k+1}^2} \\ = \dfrac{\sqrt{k} -\sqrt{k+1}}{k-k-1} =\sqrt{k+1} -\sqrt{k} [/tex]
Deci începând de la primul termen, când k=1 până la k=99, înlocuim această forma simplificată pentru fiecare fracție în parte și vedem ce calcule putem face după.
[tex] A=\dfrac{1}{\sqrt{1} +\sqrt{2}} +\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} +\ldots + \dfrac{1}{\sqrt{99} +\sqrt{100}} \\ A=\sqrt{2} -\sqrt{1} +\sqrt{3} -\sqrt{2} +\ldots + \sqrt{100} -\sqrt{99} [/tex]
Dacă e puțin mai complicat să observi ce se întâmplă, termenii se reduc din 4 în patru, în afară de radical din 1 și radical din 100. Este mai ușor să vezi cum se simplifică dacă scrii mai mulți termeni.
[tex] A=\sqrt{100} -\sqrt{1} \\ A=10-1 \\ \tt A=9 \in \mathbb{N} [/tex]
Unde ℕ=numerele naturale
