Răspuns:
Desigur! Să începem cu rezolvarea ecuațiilor:
a) Pentru ecuația \( \sin(x) \cdot \sin(2x) \cdot \sin(3x) = \frac{3}{4} \), vom folosi identitățile trigonometrice și vom încerca să simplificăm expresia pentru a găsi soluțiile:
Folosind identitatea trigonometrică \( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \) și \( \sin(3x) = 3\sin(x) - 4\sin^3(x) \), putem rescrie ecuația ca:
\[ \sin(x) \cdot 2\sin(x)\cos(x) \cdot (3\sin(x) - 4\sin^3(x)) = \frac{3}{4} \]
\[ 6\sin^2(x)\cos(x)(1 - 4\sin^2(x)) = \frac{3}{4} \]
\[ 6\sin^2(x)\cos(x) - 24\sin^4(x)\cos(x) = \frac{3}{4} \]
\[ 6\sin^2(x)\cos(x) - 24(1 - \cos^2(x))\sin^2(x)\cos(x) = \frac{3}{4} \]
\[ 6\sin^2(x)\cos(x) - 24\sin^2(x)\cos(x) + 24\sin^2(x)\cos^3(x) = \frac{3}{4} \]
\[ (6 - 24 + 24\cos^3(x))\sin^2(x)\cos(x) = \frac{3}{4} \]
\[ (24\cos^3(x) - 18)\sin^2(x)\cos(x) = \frac{3}{4} \]
\[ 6(4\cos^3(x) - 3)\sin^2(x)\cos(x) = 3 \]
\[ 24\cos^3(x) - 18 = \frac{1}{2} \]
\[ 24\cos^3(x) = \frac{41}{2} \]
\[ \cos^3(x) = \frac{41}{48} \]
\[ \cos(x) = \sqrt[3]{\frac{41}{48}} \]
\[ x = \arccos\left(\sqrt[3]{\frac{41}{48}}\right) + 2k\pi \]
unde \( k \) este un întreg.
b) Pentru ecuația \( \tan(x) + \cot(2x) = 4\cos(2x) \), putem folosi identitățile trigonometrice pentru a simplifica expresia și a găsi soluțiile:
Folosind identitatea \( \cot(2x) = \frac{\cos(2x)}{\sin(2x)} \), putem rescrie ecuația ca:
\[ \tan(x) + \frac{\cos(2x)}{\sin(2x)} = 4\cos(2x) \]
\[ \frac{\sin(x)}{\cos(x)} + \frac{\cos(2x)}{\sin(2x)} = 4\cos(2x) \]
\[ \frac{\sin(x)\sin(2x) + \cos(x)\cos(2x)}{\sin(2x)} = 4\cos(2x) \]
\[ \frac{\sin(x)(2\sin(x)\cos(x)) + \cos(x)(1 - 2\sin^2(x))}{2\sin(x)\cos(x)} = 4(2\cos^2(x) - 1) \]
\[ \frac{2\sin^2(x)\cos(x) + \cos(x) - 2\sin^2(x)\cos(x)}{2\sin(x)\cos(x)} = 8\cos^2(x) - 4 \]
\[ \frac{\cos(x)}{\sin(x)} = 8\cos^2(x) - 4 \]
\[ \frac{1}{\tan(x)} = 8\cos^2(x) - 4 \]
\[ \frac{\cos^2(x)}{\sin^2(x)} = 8\cos^2(x) - 4 \]
\[ \cot^2(x) = 8\cos^2(x) - 4 \]
\[ \frac{1}{\tan^2(x)} = 8\cos^2(x) - 4 \]
\[ \tan^2(x) = \frac{1}{8\cos^2(x) - 4} \]
\[ \tan(x) = \pm \sqrt{\frac{1}{8\cos^2(x) - 4}} \]
\[ x = \arctan\left(\pm \sqrt{\frac{1}{8\cos^2(x) - 4}}\right) + k\pi \]
unde \( k \) este un întreg.
