Notăm cu P(n) propoziția:
[tex] P(n): 1^4 +2^4 +\ldots + (n-1)^4 <\dfrac{n^5}{5} , \forall n \in \mathbb{N}, n\ge 2 [/tex]
1 .Etapa de verificare
Verificam n=2
[tex] P(2): 1^4 <\dfrac{2^5}{5} \implies 1<\dfrac{32}{5} \implies adevarat [/tex]
2. Etapa demonstrației. Presupunem ca P(k) este adevărată și arătăm ca P(k)⇒P(k+1).
[tex] P(k): 1^4 +2^4 +\ldots + (k-1)^4 <\dfrac{k^5}{5} \ A \\ P(k+1): 1^4 +2^4 +\ldots +k^4 <\dfrac{(k+1)^5}{5} [/tex]
Știm ca propoziția P(k) este adevărată pentru ca am presupus ca este adevărată. Dacă din P(k) ne iese P(k+1) o propoziție adevărată, atunci implicația este adevărată, așa ca presupunerea a fost corectă. Așa ca modelam P(k):
[tex] 1^4 +2^4 +\ldots + (k-1)^4 <\dfrac{k^5}{5} \ \bigg| +k^4 \\ 1^4 + 2^4 +\ldots + k^4 <\dfrac{k^5}{5} +k^4 [/tex]
Deci trebuie să arătăm defapt, că:
[tex] \dfrac{k^5}{5} + k^4 < \dfrac{(k+1)^5}{5} \\ k^5 + 5k^4 < (k+1)^5 \\ k^5 +5k^4 < k^5 +5k^4 +10k^3 + 10k^2 + 5k+1 \\ 10k^3 +10k^2 + 5k+1 >0 \implies adevarat \\ \implies P(k+1) \ adevarat \\ \implies \tt P(n) \ adevarat [/tex]
