Pentru a rezolva această sumă, putem folosi proprietatea distributivității înmulțirii față de adunare și observăm că putem simplifica această sumă.
Începem prin a găsi un tipar în termenii sumei. Observăm că fiecare termen are un format similar: \( \frac{1}{n} \times \frac{1}{n+1} \), unde \( n \) este un număr natural.
Putem rescrie primii câțiva termeni ai sumei astfel:
\[
\frac{1}{3} \times \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \times \frac{1}{5} + \frac{1}{5} \times \frac{1}{6} + \dots + \frac{1}{2021} \times \frac{1}{2022}
\]
Putem observa că fiecare termen are un factor comun: \( \frac{1}{n} \). Deci putem să-l scoatem în evidență:
\[
\frac{1}{n} \left( \frac{1}{n+1} \right)
\]
Acum putem să simplificăm această expresie, iar rezultatul va fi o serie telescopică:
\[
\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}
\]
Acum, putem să aplicăm această simplificare la întreaga sumă. Se observă că majoritatea termenilor se vor anula reciproc. Termenii de pe margini nu se vor anula, iar suma va fi formată doar din acești termeni.
\[
\left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{5} \right) + \dots + \left( \frac{1}{2021} - \frac{1}{2022} \right)
\]
Observăm că majoritatea termenilor se vor simplifica, lăsându-ne doar cu primul și ultimul termen:
\[
\frac{1}{3} - \frac{1}{2022}
\]
Acum putem calcula această diferență pentru a obține rezultatul final:
\[
\frac{1}{3} - \frac{1}{2022} = \frac{674 - 1}{2022} = \frac{673}{2022}
\]
Deci suma dată este \( \frac{673}{2022} \).
Răspuns:
673/2022
Explicație pas cu pas:
Ne uitam la fiecare termen in parte:
⅓×¼=⅓-¼
¼×⅕=¼-⅕
⅕×⅙=⅕-⅙
.......
1/2021×1/2022=1/2021-1/2022
Daca adunam toate prostiile astea, observam ca ¼, ⅕, ⅙, .... 1/2021 se reduc.
Deci ramine
⅓-1/2022=(674-1)/2022=673/2022
