Răspuns:
Pentru a arăta că √(500 + a²) (500 + b²) (500 + c²) este un număr rațional, vom demonstra că fiecare factor din produs este un număr rațional.
Avem ecuația ab + bc + ca = 500. Putem observa că putem rescrie ecuația astfel:
ab + bc + ca = 500
a(b + c) + bc = 500
a(b + c) = 500 - bc
Deoarece a, b, c aparțin mulțimii numerelor raționale (Q), atunci b + c și 500 - bc sunt și ele numere raționale.
Acum să analizăm factorii din produs √(500 + a²), (500 + b²) și (500 + c²).
Pentru √(500 + a²), avem suma a² + 500. Deoarece a² și 500 sunt numere raționale, suma lor este un număr rațional. Astfel, radicalul √(500 + a²) este tot un număr rațional.
La fel, putem demonstra că și factorii (500 + b²) și (500 + c²) sunt numere raționale, deoarece b² și c², precum și 500, sunt numere raționale.
Prin urmare, deoarece fiecare factor din produs √(500 + a²) (500 + b²) (500 + c²) este un număr rațional, putem concluziona că produsul în ansamblu este și el un număr rațional.
