Răspuns:
[tex]\boldsymbol{ \red{\textnormal{Im} f = \big[0, + \infty\big)}}[/tex]
Explicație pas cu pas:
Imaginea unei funcții înseamnă valorile pe care le ia funcția.
Funcția dată are două ramuri. Astfel:
◉ pe prima ramură avem o funcție de gradul întâi, a cărei reprezentare grafică este o linie dreaptă. Coeficientul lui x este pozitiv (1 > 0), ceea ce înseamnă că funcția este crescătoare pe domeniul de definiție, adică pentru x ∈ [1, +∞), iar valoarea cea mai mică a funcției este:
[tex]f(1) = 1 + 1 = 2[/tex]
Deci imaginea funcției f pentru x ∈ [1, +∞) este:
Im f = [2, +∞)
◉ pe a doua ramură avem o funcție de gradul al doilea, a cărei reprezentare grafică este o parabolă. Coeficientul lui x este pozitiv (2 > 0), ceea ce înseamnă că parabola are ramurile îndreptate în sus (are un punct de minim, funcția este descrescătoare pe intervalul (-∞, 0] și crescătoare pe intervalul [0, +∞)), iar imaginea funcției pe intervalul (-∞, 1) este:
[tex]Im f = \bigg[-\dfrac{b}{2a}, + \infty\bigg) \implies Im f = \big[0, + \infty\big)\\[/tex]
Așadar, funcția f pe domeniul de definiție (R) are imaginea:
[tex]\textnormal{Im} f = \big[0, + \infty\big)[/tex]
(pe orice grafic, imaginea funcției o regăsim pe axa Oy)
