Notăm primul număr cu x și cu x+n ultimul termen al sumei.Vom avea:
[tex] x+(x+1)+(x+2)+\ldots+ (x+n)=2024 [/tex]
Avem n+1 de x-uri și 1+2+…+n este suma lui Gauss, pe care o putem calcula.
[tex] x(n+1)+1+2+3+\ldots + n =2024 \\ x(n+1)+\dfrac{n(n+1)}{2} =2024 \\ 2x(n+1)+n(n+1)=4048 \\ (n+1)(2x+n)=4048 \\ (n+1)(2x+n)=2^4 \cdot 11 \cdot 23 [/tex]
Dacă n este impar, atunci n+1 va fi par, așa ca avem 4 solutii pentru n(deoarece avem 2^4)
n+1=2 , avem n=1
n+1=4 , avem n=3
n+1=8 , avem n=7
n+1=16, avem n=15
Observăm ca, dacă 2x este par și, în acest caz am presupus ca n=impar dar ne dă un număr par deoarece 2^(ceva)•11•23 , ceea ce e absurd să spui ca par+impar=par ,e FALS.
Dar- inafara de n+1=16, pentru ca se anulează cu 2^4 și obținem astfel 2x+15=11•23
[tex] (15+1)(2x+15)=16 \cdot 11 \cdot 23 \\ 2x+15 =11 \cdot 23 \\ 2x=253-15 \\ 2x=238 \\ \tt x=119 [/tex]
Astfel, pentru n=impar avem doar o soluție, n=15, x=119.
Sa vedem ce se întâmplă dacă presupunem cealaltă varianta, dacă n este par. Păi n+1 va fi impar, așa ca avem doar 2 ecuații. n+1 =11, n=10 sau n=1=23, unde n=22
Pentru n=10 avem:
[tex] 11(2x+10)=16 \cdot 11 \cdot 23 \\ 2x+10 = 16\cdot 23 \\ 2x=368-10 \\ 2x=358 \\ \tt x=179 [/tex]
Pentru n=22 avem:
[tex] 23(2x+22)=16\cdot 11\cdot 23 \\ 2x+22=16\cdot 11 \\ 2x+22=176 \\ 2x=154 \\ \tt x=77 [/tex]
Astfel, avem 3 soluții de numere:
[tex] prima \to \tt 77,78,79,\ldots , 99 \\ a \ doua \to \tt 119,120,121,\ldots , 134 \\ a \ treia \to \tt 179,180,181,\ldots , 189 [/tex]
