Răspuns :
Răspuns:
în teorie este egal cu 4
Explicație pas cu pas:
răspunsurile posibile sunt:4; 22; 22,4
Cum demonstrezi că 2 + 2 = 4?
Desigur. Aceasta este matematică formală. Dacă nu am putea demonstra 2 + 2 = 4, nu am pretinde că este adevărat în primul rând.
Prima întrebare pe care ar trebui să ne-o punem este: Ce înseamnă de fapt 2 + 2 = 4? Ce este 2? Ce este 4? Ce este +? Și ce este =? Mai general, ce este un Număr Natural? Și cum sunt definite operațiile și relațiile asupra lor?
Egalitate
Probabil deja știi asta, dar trebuie să o afirm oricum. Răspunsul meu trebuie să fie logic închis (fiți recunoscători că nu am început cu axiomele ZFC, dar oricum...). Oricum, egalitatea este o relație între două lucruri. Sigur, dar ce este o relație?
O relație binară R între mulțimile A și B este definită astfel:
R ⊆ A × B
Unde × este produsul cartezian. Deci aRb este adevărat dacă și numai dacă (a, b) ∈ R.
Egalitatea = este o relație cu următoarele proprietăți:
Reflexivitate: ∀x: x = x
Simetrie: ∀x, y: x = y ⟹ y = x
Tranzitivitate: ∀x, y, z: ((x = y ∧ y = z) ⟹ x = z)
Numere naturale: Cel mai frumos lucru inegal
Dacă întrebi pe cineva ce este un Număr Natural, vei auzi de obicei „1, 2, 3, ...” ca și cum asta ar rezolva problema. Definiția reală elimină ambiguitatea și face lucrurile mult mai atractive. Deci, ce sunt Numerele Naturale?
Mulțimea N a cărei elemente respectă Axiomele lui Peano este mulțimea Numerelor Naturale. Egalitatea este definită în această mulțime, ceea ce înseamnă că Numerele Naturale sunt închise sub egalitate (în mod evident). Iată Axiomele lui Peano:
0 ∈ N
Funcția succesor S: N → N are următoarele proprietăți:
∀n ∈ N: S(n) ∈ N
∀n, m ∈ N: m = n ⟺ S(n) = S(m)
∄n ∈ N: S(n) = 0
Suntem gata? Ei bine, să vedem ce implică aceste axiome. Primul lucru pe care ni se spune este că 0 este un Număr Natural. Prin axioma 2a, S(0) este, de asemenea, în N. La fel și S(S(0)), S(S(S(0))), și așa mai departe. Acest lucru pare a fi o „structură liniară” de parcă mulțimea ar admite o ordine totală. Dar ce se întâmplă dacă ∃n ∈ N, n ≠ 0: (∄m ∈ N: S(m) = n)? Adică, ar putea exista un Număr Natural care nu este succesorul altui Număr Natural? Să vedem. Luăm mulțimea:
M = {0, S(0), S(S(0)), ..., z, S(z), S(S(z)), ...}
Adică, mulțimea care include 0 și toți succesorii săi, și z și toți succesorii săi. Aceasta are proprietatea menționată anterior că z nu este succesorul altui Număr Natural. Verifică M axiomele? Ei bine, axioma 1 este verificată trivial prin analizarea ei. Axioma 2a este de asemenea verificată: prin modul în care am definit mulțimea, se dovedește a fi închisă sub funcția succesor. Similar, 2b și 2c sunt, de asemenea, adevărate pentru M. Mulțimea pe care am construit-o mai sus are două „linii” complet independente (să le spunem linia 0 și linia z) și, prin urmare, nu permite o ordine totală.
Dar... dar... asta nu este ceea ce vrem.
Numerele Naturale au apărut ca o modalitate intuitivă de a înțelege unele aspecte ale realității în primul rând, și nu a fost până mult, mult mai târziu că definiția a fost capturată formal. Și deja aveam o înțelegere intuitivă despre modul în care ar trebui să se comporte. Pentru a evita M, avem nevoie de o axiomă suplimentară.
Axioma Inducției: (0 ∈ X ∧ (∀n ∈ N: n ∈ X ⟹ S(n) ∈ X) ⟹ N ⊆ X
Acest lucru implică faptul că fiecare Număr Natural, cu excepția lui 0, este succesorul altui Număr Natural. Cu axioma inducției, se poate induce un ordin total (sau uneori numit liniar) în N. Deoarece nu este foarte relevant în această întrebare, nu vom defini formal noțiunea de ordin total.
Cei mai mulți cititori care au ajuns până aici pot vedea că 2 = S(S(0)) și 4 = S(S(S(S(0)))), dar pentru a ajunge la formalismele matematice, cum putem construi N pur din noțiuni set theoretice?
Construcția lui Von Neumann a Numerelor Naturale
Voi arăta cum se poate realiza un astfel de lucru. Definiți 0 = {} și S(n) = n ∪ {n}. Atunci:
S(0) = {{}}
S(S(0)) = {{}, {{}}}
S(S(S(0))) = {{}, {{}}, {{}, {{}}}}
(…)
Aici este continuarea traducerii:
De asemenea, demonstrația abordează conceptul de ordine totală în mulțimea numerelor naturale și arată cum se poate induce o ordine totală folosind axioma inducției.
În plus, sunt prezentate definițiile formale ale numerelor naturale și ale operației de adunare, iar operația de adunare este justificată și demonstrată să fie asociativă și comutativă în contextul definirilor date.
În final, demonstrația concluzionează că 2 + 2 = 4 prin aplicarea operației definite și a proprietăților acesteia în cadrul definirilor formale ale numerelor naturale.
Această demonstrație oferă o înțelegere profundă a fundamentelor matematice ale operațiilor aritmetice și a modului în care acestea sunt definite și justificate în cadrul teoriei numerelor naturale.
Vă mulțumim că ați ales să vizitați platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile disponibile v-au fost utile. Dacă aveți întrebări suplimentare sau aveți nevoie de sprijin, nu ezitați să ne contactați. Vă așteptăm cu drag și data viitoare! Nu uitați să adăugați site-ul nostru la favorite pentru acces rapid.