Răspuns:
Pentru a calcula aceste expresii, putem folosi formula lui Viète pentru suma și produsul soluțiilor unei ecuații de gradul doi:
Dacă avem ecuația de forma \(ax^2 + bx + c = 0\) cu soluțiile \(x_1\) și \(x_2\), atunci:
1. \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\)
2. \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\)
Pentru ecuația dată \(x^2 + x + 1 = 0\), avem \(a = 1\), \(b = 1\), și \(c = 1\). Prin urmare:
1. \(x_1 + x_2 = -\frac{1}{1} = -1\)
2. \(x_1 \cdot x_2 = \frac{1}{1} = 1\)
Pentru a rezolva cerințele:
a) \(X_1^3 + X_2^3 = (X_1 + X_2)^3 - 3X_1X_2(X_1 + X_2)\)
Înlocuim valorile cunoscute:
\(X_1^3 + X_2^3 = (-1)^3 - 3 \cdot 1 \cdot (-1) \cdot (-1) = -1 - 3 = -4\)
b) \(X_1^{2024} + X_2^{2024} = (X_1^{2023} + X_2^{2023})(X_1 + X_2) - X_1X_2(X_1^{2022} + X_2^{2022})\)
Folosind recurența, avem:
\(X_1^{2023} + X_2^{2023} = (X_1 + X_2)(X_1^{2022} + X_2^{2022}) - X_1X_2(X_1^{2021} + X_2^{2021})\)
Continuăm înlocuind:
\(X_1^{2022} + X_2^{2022} = (X_1 + X_2)(X_1^{2021} + X_2^{2021}) - X_1X_2(X_1^{2020} + X_2^{2020})\)
Și așa mai departe, până ajungem la \(X_1^3 + X_2^3\), pe care deja am calculat-o.
Deci, vom avea:
\(X_1^{2024} + X_2^{2024} = (-4)(-1) - 1(-4) = 4 + 4 = 8\)
