Explicație pas cu pas:
7.
a) Da, un hexagon cu toate unghiurile egale este un poligon.
b) Da, un hexagon cu toate laturile egale și toate unghiurile egale este un poligon regulat.
8.
a) Pentru a arăta că măsura arcului mic AB este de 60°, trebuie să demonstrăm că acest arc reprezintă o șesime din circumferința cercului. Dacă raza cercului este r, iar lungimea circumferinței este \(2\pi r\), atunci o șesime din circumferință este \(2\pi r / 6 = \pi r / 3\). Deci, pentru a arăta că măsura arcului mic AB este de 60°, trebuie să demonstrăm că lungimea arcului AB este \(\pi r / 3\). Pentru a face acest lucru, putem folosi proprietatea cercului că orice unghi la centru măsoară de două ori arcul pe care îl subție. Așadar, arcul AB trebuie să măsoare \(\pi r / 6\), ceea ce este într-adevăr 60°.
b) Pentru a împărți cercul \(O, r\) în 6 arce congruente prin punctele A, B, C, D, E, F, vom construi consecutiv arcuri de aceeași lungime de la fiecare punct la următorul în sensul acelor de ceasornic sau invers.
c) ACE, BDF și ABCDEF sunt poligoane regulate deoarece au toate laturile egale (fiind arcuri de cerc congruente) și toate unghiurile egale (deoarece unghiul la centru pentru fiecare arc este același).
9.
Pentru a determina măsurile unghiurilor în hexagonul regulat ABCDEF, trebuie să ținem cont de faptul că într-un hexagon regulat, fiecare unghi la vârf este de \(120^\circ\). De asemenea, într-un hexagon regulat, unghiul la centru este de \(360^\circ / 6 = 60^\circ\). Astfel, toate unghiurile la centru ale hexagonului sunt de \(60^\circ\), iar unghiul dintre laturile MA și MB este jumătate din unghiul la centru, deci \(30^\circ\).
