Răspuns:
Explicație pas cu pas:
Pentru ca funcția \(f(x) = x^2 - x + 2\) să fie strict crescătoare pe intervalul \((-∞,1]\), derivata sa trebuie să fie strict pozitivă pe acest interval. Similar, pentru ca funcția să fie strict crescătoare pe intervalul \([1,∞)\), derivata sa trebuie să fie strict pozitivă pe acest interval.
Pentru a găsi valorile lui \(m\) pentru care funcția este strict crescătoare pe aceste intervale, vom calcula derivata funcției și vom studia semnul acesteia pe fiecare interval.
Derivata funcției \(f(x) = x^2 - x + 2\) este:
\[f'(x) = 2x - 1\]
Pentru a determina semnul derivatei pe fiecare interval, vom găsi punctele unde derivata se anulează și vom alege un punct de test între aceste puncte pentru a determina semnul derivatei.
Pentru intervalul \((-∞,1]\):
1. Găsim punctele unde derivata se anulează:
\[2x - 1 = 0\]
\[2x = 1\]
\[x = \frac{1}{2}\]
2. Alegem un punct de test între \(-\infty\) și \(\frac{1}{2}\), de exemplu \(x = 0\).
\[f'(0) = 2(0) - 1 = -1\]
Derivata este negativă pe intervalul \((-∞,1]\), deci funcția este descrescătoare pe acest interval.
Pentru intervalul \([1,∞)\):
1. Alegem un punct de test între \(\frac{1}{2}\) și \(\infty\), de exemplu \(x = 2\).
\[f'(2) = 2(2) - 1 = 3\]
Derivata este pozitivă pe intervalul \([1,∞)\), deci funcția este crescătoare pe acest interval.
În concluzie, pentru ca funcția să fie strict crescătoare pe intervalul \((-∞,1]\) și strict crescătoare pe intervalul \([1,∞)\), derivata sa trebuie să fie strict negativă pe intervalul \((-∞,1]\) și strict pozitivă pe intervalul \([1,∞)\). Din calculele anterioare, observăm că derivata funcției este întotdeauna negativă sau pozitivă, deci funcția nu poate fi strict crescătoare pe ambele intervale simultan.
Prin urmare, nu există nicio valoare a lui \(m\) pentru care funcția \(f(x) = x^2 - x + 2\) să fie strict crescătoare pe ambele intervale \((-∞,1]\) și \([1,∞)\).
