Răspuns:
Avem ecuațiile date:
1. \( \frac{a+b}{3} = \frac{b+c}{4} = \frac{c+a}{5} \)
2. \( \frac{a+b+c}{3} = k^2 \)
Putem rezolva acest sistem de ecuații pentru a, b și c. Vom împărți membrii echivalenți ai primelor două fracții și vom obține o relație între a, b și c.
\[ \frac{a+b}{3} = \frac{b+c}{4} \]
\[\Rightarrow 4(a+b) = 3(b+c) \]
\[\Rightarrow 4a + 4b = 3b + 3c \]
\[\Rightarrow a = -b + 3c \]
Același lucru îl putem face pentru ultimele două fracții:
\[ \frac{b+c}{4} = \frac{c+a}{5} \]
\[\Rightarrow 5(b+c) = 4(c+a) \]
\[\Rightarrow 5b + 5c = 4c + 4a \]
\[\Rightarrow a = b - c \]
Acum, având aceste relații, putem găsi a, b și c în funcție de o variabilă. Înlocuim aceste expresii în ultima ecuație:
\[ \frac{a+b+c}{3} = k^2 \]
\[\Rightarrow \frac{(-b + 3c + b - c + c)}{3} = k^2 \]
\[\Rightarrow \frac{-b + 3c}{3} = k^2 \]
\[\Rightarrow -b + 3c = 3k^2 \]
Acesta este un sistem de trei ecuații cu trei necunoscute: \(a = -b + 3c\), \(b = c - a\) și \(-b + 3c = 3k^2\). Îl puteți rezolva pentru a, b și c pentru a găsi soluția specifică.
