Răspuns:
x = 1 este axă de simetrie a funcției f
Explicație pas cu pas:
Condiția ca x = 1 să fie axă de simetrie este
[tex]\boldsymbol{f(1-x)=f(1+x)}, \ \forall x\in\mathbb{R}[/tex]
Pentru funcția de gradul doi, axa de simetrie este dreapta:
[tex]x = -\dfrac{b}{2a}, \ \ a,b-coeficienti[/tex]
a) a = 1, b = -2, c = 1
[tex]x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-2}{2\cdot1} = \dfrac{2}{2} = 1\\[/tex]
⇒ x = 1 este axă de simetrie a funcției f
***
b) a = -2, b = 4, c = 3
[tex]x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{4}{2\cdot(-2)} = \dfrac{4}{4} = 1\\[/tex]
⇒ x = 1 este axă de simetrie a funcției f
***
c) Calculăm valorile funcției pentru 1-x și 1+x
[tex]f(1-x) = |(1-x)-1| = |1-x-1| = |-x|[/tex]
[tex]f(1+x) = |(1+x)-1| = |1+x-1| = |x|[/tex]
[tex]|-x| = |x| \Rightarrow f(1-x)=f(1+x)[/tex]
⇒ x = 1 este axă de simetrie a funcției f
***
[tex]d) \ f(1-x) = \sqrt{|(1-x)-1|} = \sqrt{|1-x-1|} = \sqrt{|-x|}\\[/tex]
[tex]f(1+x) = \sqrt{|(1+x)-1|} = \sqrt{|1+x-1|} = \sqrt{|x|}\\[/tex]
[tex]\sqrt{|-x|} = \sqrt{|x|} \Rightarrow f(1-x)=f(1+x)[/tex]
⇒ x = 1 este axă de simetrie a funcției f
***
e) f(x) = x(2-x) = -x² + 2x
a = -1, b = 2, c = 0
[tex]x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{2}{2\cdot(-1)} = \dfrac{2}{2} = 1\\[/tex]
⇒ x = 1 este axă de simetrie a funcției f
***
[tex]f) \ f(1-x) = \dfrac{|(1-x)-1|}{(1-x)^2-2(1-x)+2} = \dfrac{|-x|}{x^2+1}\\[/tex]
[tex]f(1+x) = \dfrac{|(1+x)-1|}{(1+x)^2-2(1+x)+2} = \dfrac{|-x|}{x^2+1}\\[/tex]
[tex]\dfrac{|x|}{x^2+1}=\dfrac{|-x|}{x^2+1} \Rightarrow f(1-x)=f(1+x)\\[/tex]
⇒ x = 1 este axă de simetrie a funcției f
***
[tex]g) \ f(1-n)=(-1)^{1-n}\cdot[2(1-n)-(1-n)^2] = (-1)^{1-n}\cdot(1-n^2) = \dfrac{-1}{(-1)^n} \cdot(1-n^2) = \dfrac{1}{(-1)^n} \cdot(n^2-1)[/tex]
[tex]f(1+n)=(-1)^{1+n}\cdot[2(1+n)-(1+n)^2] = (-1)^{1+n}\cdot(1-n^2) = (-1) \cdot (-1)^n \cdot(1-n^2) = (-1)^n \cdot(n^2-1)[/tex]
[tex]\dfrac{1}{(-1)^n} = (-1)^{n} \Rightarrow \dfrac{1}{(-1)^n} \cdot(n^2-1) = (-1)^n \cdot(n^2-1) \\[/tex]
[tex]\Rightarrow f(1-x)=f(1+x)[/tex]
⇒ x = 1 este axă de simetrie a funcției f
