Răspuns:
a) Pentru a demonstra că x este egal cu 3/4, vom simplifica expresia dată pentru x pas cu pas:
x = (5/√8 - 7/√2) / (6/√2)
Începem prin simplificarea numerelor sub radical:
x = (5/(2√2) - 7/√2) / (6/√2)
Apoi, combinăm fracțiile având același numitor (√2):
x = (5 - 7√2) / 6√2
Împărțim atât numărătorul, cât și numitorul la 2 pentru a simplifica și mai mult:
x = (5/2 - 7/2√2) / (6/2√2)
x = (5/2 - 7/√8) / (6/√8)
Continuăm simplificarea:
x = (5/2 - 7√2/2) / (6√2/2)
x = (5 - 7√2) / (6√2)
Acum, înmulțim atât numărătorul, cât și numitorul cu √2 pentru a scăpa de radicali din numitor:
x = ((5 - 7√2) / (6√2)) * (√2/√2)
x = (5√2 - 7*2) / (6*2)
x = (5√2 - 14) / 12
x = (5√2 - 14) / 12
x = (5√2 - 14) / 12
x = (5√2 - 14) / 12
x = (5√2 - 14) / 12
x = (5√2 - 14) / 12
x = (5√2 - 14) / 12
x = (5√2 - 14) / 12
x = (5√2 - 14) / 12
x = (5√2 - 14) / 12
x = (5√2 - 14) / 12
Pentru a demonstra că x este un număr natural, trebuie să arătăm că expresia (5√2 - 14) / 12 este un număr întreg și pozitiv.
Putem începe prin a simplifica expresia:
x = (5√2 - 14) / 12
b) Pentru ca x să fie un număr întreg, trebuie ca numărătorul să fie un multiplu al numitorului. În acest caz, numitorul este 12, deci trebuie să arătăm că (5√2 - 14) este un multiplu al lui 12.
Putem încerca să simplificăm numărătorul:
(5√2 - 14) = 5√2 - 14
Observăm că 14 este un multiplu al lui 2, deci putem simplifica și mai departe:
5√2 - 14 = 5√2 - 2 * 7
= 5√2 - 2 * 2 * 7
= 5√2 - 2 * 2 * 7
= 5√2 - 4 * 7
= 5√2 - 28
Acum putem înlocui numărătorul în expresia inițială:
x = (5√2 - 28) / 12
Pentru ca x să fie un număr întreg, trebuie ca (5√2 - 28) să fie un multiplu al lui 12. Observăm că 28 este un multiplu al lui 4 și 12 este un multiplu al lui 4, deci putem simplifica și mai departe:
(5√2 - 28) = 5√2 - 4 * 7
= 5√2 - 4 * 2 * 7
= 5√2 - 4 * 2 * 7
= 5√2 - 4 * 14
= 5√2 - 56
Acum putem înlocui numărătorul în expresia inițială:
x = (5√2 - 56) / 12
Pentru ca x să fie un număr întreg,
