a) Pentru a determina masurile unghiurilor patrulaterului ABCD, putem folosi urmatoarea proprietate: suma masurilor unghiurilor interioare ale unui patrulater convex este egala cu 360°. De asemenea, putem folosi faptul ca masura unui unghi la centru este dubla fata de masura unui unghi la circumferinta subtins de acelasi arc. Astfel, avem:
[tex]\begin{aligned}
\angle A + \angle B + \angle C + \angle D &= 360^\circ \\
\angle A &= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \widehat{AB} = \widehat{AB} = 120^\circ \\
\angle B &= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \widehat{BC} = \widehat{BC} = 40^\circ \\
\angle C &= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \widehat{CD} = \widehat{CD} = 130^\circ \\
\angle D &= 360^\circ - 120^\circ - 40^\circ - 130^\circ = 70^\circ
\end{aligned}[/tex]
Deci, masurile unghiurilor patrulaterului ABCD sunt:
[tex]\angle A = 120^\circ, \angle B = 40^\circ, \angle C = 130^\circ, \angle D = 70^\circ[/tex]
b) Pentru a determina masurile unghiurilor formate de diagonale cu laturile patrulaterului, putem folosi urmatoarele proprietati: suma masurilor unghiurilor adiacente pe o secanta este egala cu masura unghiului opus la centru; suma masurilor unghiurilor opuse prin varf intr-un patrulater convex este egala cu 180°. Astfel, avem:
[tex]\begin{aligned}
\angle ABD &= \frac{1}{2} \cdot \widehat{AD} = \frac{1}{2} \cdot (120^\circ + 130^\circ) = 125^\circ \\
\angle ADB &= 180^\circ - \angle ABD = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ \\
\angle ADC &= \frac{1}{2} \cdot \widehat{AC} = \frac{1}{2} \cdot (120^\circ + 40^\circ) = 80^\circ \\
\angle ACD &= 180^\circ - \angle ADC = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ \\
\angle BAC &= \frac{1}{2} \cdot \widehat{BC} = \frac{1}{2} \cdot 40^\circ = 20^\circ \\
\angle BCA &= 180^\circ - \angle BAC = 180^\circ - 20^\circ = 160^\circ \\
\angle BDC &= \frac{1}{2} \cdot \widehat{BD} = \frac{1}{2} \cdot (40^\circ + 130^\circ) = 85^\circ \\
\angle CBD &= 180^\circ - \angle BDC = 180^\circ - 85^\circ = 95^\circ
\end{aligned}[/tex]
Deci, masurile unghiurilor formate de diagonale cu laturile patrulaterului sunt:
[tex]\angle ABD = 125^\circ, \angle ADB = 55^\circ, \angle ADC = 80^\circ, \angle ACD = 100^\circ, \angle BAC = 20^\circ, \angle BCA = 160^\circ, \angle BDC = 85^\circ, \angle CBD = 95^\circ[/tex]
