Răspuns:
a) 5 km
Explicație pas cu pas:
## Rezolvare:
**1. Demonstrarea paralelismului MN || AB:**
- **Metoda 1:** Folosind unghiuri congruente:
- Unghiul BMN este congruent cu unghiul ABC (unghiuri alterne interne)
- Unghiul ABC este de 90° (triunghiul ABC este dreptunghic în A)
- Unghiul BMN este de 90°
- Unghiul MNB este congruent cu unghiul MBA (unghiuri alterne interne)
- Unghiul MBA este de 90° (triunghiul ABM este dreptunghic în M)
- Unghiul MNB este de 90°
- Din unghiuri congruente (BMN = 90° = MNB), rezultă MN || AB (condiția paralelismului)
- **Metoda 2:** Folosind proprietatea mediatoarei:
- Punctul M este pe mediatoarea lui BC, deci distanța de la M la BC este egală în orice punct al lui BC.
- Segmentele MN și AB sunt perpendiculare pe BC, deci MN este paralelă cu AB (proprietatea paralelismului liniilor perpendiculare pe o a treia dreaptă)
**2. Calculul lui MN:**
- Triunghiul ABM este dreptunghic în M, cu AB = 10 km și AM = BM (proprietatea mediatoarei)
- Folosim teorema lui Pitagora:
- AM^2 + BM^2 = AB^2
- 2 * AM^2 = AB^2 = 10^2 km^2
- AM^2 = 5^2 km^2
- AM = BM = 5 km
- Triunghiul AMN este asemenea cu triunghiul ABM (au unghiuri congruente: AMN = 90° = MAB, AMB = 90° = ANB)
- Raportul de similitudine este AM/AB = MN/AB = 5/10 = 1/2
- MN = (1/2) * AB = (1/2) * 10 km = 5 km
**Răspuns:**
MN este egal cu **5 km** (opțiunea a).
**Explicație:**
- Demonstrația paralelismului MN || AB se poate face prin două metode, ambele conducând la același rezultat.
- Calculul lui MN se realizează prin aplicarea teoremei lui Pitagora și a proprietăților triunghiurilor asemenea.
**Observații:**
- Foişorul N se află la mijlocul segmentului AB, la o distanță de 5 km de A și de B.
- Poteca MN este paralelă cu segmentul AB și are o lungime de 5 km.
