Răspuns:
Explicație pas cu pas:
1a) Limita ceruta este f'(1)
f' = 1+1/x, f'(1) = 1+1/1 = 2
b) f'(x) = 1+1/x > 0 pt. x in(0,+inf),
deci f(x) e strict crescatoare
f(2019) > f(2018
f(2017) > f(2016)
Le adunam si rezulta ineg. ceruta
c) f'' = -1/x^2 < 0,
deci f(x) e concava (nu tine apa !)
2a) ∫x*e^x*e^(-x)dx = ∫xdx = x^2/2
Punem limitele : I = 1/2 -0 = 1/2
b) F(x)= ∫x*e^x dx = x*e^x -e^x +C
f(0) = 0 -e^0+C = 2020
C = 2020+1 = 2021
F(x) = x*e^x -e^x +2021
c) Daca F(x) e o primitiva, atunci:
F' = f(x)
F'' = (xe^x)' = e^x +xe^x >= 0
pt. x in [-1, +inf), deci:
F(x) este convexa pe [-1, +inf)
(tine apa !)
