Răspuns :
Răspuns:
a) Verificarea:
\[ x * y = xy - 5(x + y) + 30 \]
\[ = (x - 5)(y - 5) + 5 \]
\[ = xy - 5x - 5y + 25 + 5 \]
\[ = xy - 5x - 5y + 30 \]
b) Calculul:
\[ \frac{1}{2*3} - \frac{(1-2)*(1-3)}{1} \]
\[ = \frac{1}{6} - \frac{(-1)(-2)}{1} \]
\[ = \frac{1}{6} - \frac{2}{1} \]
\[ = \frac{1 - 12}{6} \]
\[ = -\frac{11}{6} \]
c) Rezolvarea ecuației:
\[ x * x = 5x \]
\[ x^2 = 5x \]
\[ x^2 - 5x = 0 \]
\[ x(x - 5) = 0 \]
Deci, soluțiile sunt \(x = 0\) și \(x = 5\).
d) Demonstrarea:
\[ x * (y * z) = x * (y + z + 3) = x + (y + z + 3) + 3 = x + y + z + 6 \]
\[ (x * y) * z = (x + y + 3) * z = (x + y + 3) + z + 3 = x + y + z + 6 \]
Deci, \(x * (y * z) = (x * y) * z\).
e) Demonstrarea:
\[ x * y = x + y + 3 \]
Pentru \(x, y \in M = [5, +)\), se poate observa că rezultatul va fi întotdeauna mai mare sau egal cu 8 (5 + 3). Prin urmare, pentru \(x, y \in M\), \(x * y\) va fi întotdeauna în \(M\).
2. Pe mulțimea numerelor reale se consideră legile de compoziție \(x * y = x + y + 3\) și \(x * y = xy - 3(x + y) + 12\). Să se rezolve sistemul de ecuații:
\[ \begin{cases} x \cdot (y-1) = 0 \\ (x+1) \cdot y = x \cdot (y+1) \end{cases} \]
Soluții:
1. Pentru \(x \cdot (y-1) = 0\), avem \(x = 0\) sau \(y = 1\).
2. Pentru \((x+1) \cdot y = x \cdot (y+1)\), punem valorile \(x = 0\) și \(y = 1\) din prima ecuație:
\[ (0+1) \cdot 1 = 0 \cdot (1+1) \]
\[ 1 = 0 \]
Din această contradicție, sistemul nu are soluții reale.
Explicație pas cu pas:
Vă mulțumim că ați ales să vizitați platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile disponibile v-au fost utile. Dacă aveți întrebări suplimentare sau aveți nevoie de sprijin, nu ezitați să ne contactați. Vă așteptăm cu drag și data viitoare! Nu uitați să adăugați site-ul nostru la favorite pentru acces rapid.