Răspuns:
Pentru a calcula integrala \(\int_{\frac{\pi}{4}}^{5\pi}{(\sin{x})^5 \, dx}\) cu condiția dată \(\sin^5{x} = (\sin{x})^5\), putem utiliza formula redusă la \(\sin^5{x}\) și apoi să efectuăm integrala:
\[ \int_{\frac{\pi}{4}}^{5\pi}{(\sin{x})^5 \, dx} = \int_{\frac{\pi}{4}}^{5\pi}{\sin^5{x} \, dx} \]
Acum, putem utiliza formula redusă:
\[ \sin^5{x} = (\sin^2{x})^2 \cdot \sin{x} \]
Integram:
\[ \int \sin^5{x} \, dx = \int (\sin^2{x})^2 \cdot \sin{x} \, dx \]
Folosim acum substituția \(u = \sin{x}\), \(du = \cos{x} \, dx\):
\[ \int (\sin^2{x})^2 \cdot \sin{x} \, dx = \int u^2 \, du \]
Integrând termenii, obținem:
\[ \frac{1}{3}u^3 + C \]
Revenind la variabila inițială \(x\), avem:
\[ \frac{1}{3}(\sin{x})^3 + C \]
Acum, calculăm integrala între limite:
\[ \left[ \frac{1}{3}(\sin{x})^3 \right]_{\frac{\pi}{4}}^{5\pi} \]
\[ \frac{1}{3} \left[ (\sin{5\pi})^3 - (\sin{\frac{\pi}{4}})^3 \right] \]
\[ \frac{1}{3} \left[ 0 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^3 \right] \]
\[ \frac{1}{3} \left[ -\frac{\sqrt{2}}{8} \right] \]
Deci, integrala dată este \(-\frac{\sqrt{2}}{24}\).
