Explicație pas cu pas:
Vom împărți problema în două părți. Mai întâi, vom calcula suma dată, iar apoi vom demonstra că suma este mai mică decât 1001.
1. **Calculul sumei:**
Suma dată este o sumă a unei serii de fracții de forma \(\sqrt{n}/(n+1)\), unde \(n\) variază de la 2 la 2022.
\[
\sum_{n=2}^{2022} \frac{\sqrt{n}}{n+1}
\]
2. **Demonstrarea că suma este mai mică decât 1001:**
Putem începe prin a observa că pentru fiecare termen al seriei, \(\sqrt{n}/(n+1) < 1/\sqrt{n}\) pentru \(n \geq 2\). Astfel, putem folosi această relație pentru a estima suma dată prin o altă serie:
\[
\sum_{n=2}^{2022} \frac{\sqrt{n}}{n+1} < \sum_{n=2}^{2022} \frac{1}{\sqrt{n}}
\]
Această sumă poate fi evaluată cu o integrală definită, însă putem utiliza o limită inferioară mai simplă:
\[
\sum_{n=2}^{2022} \frac{1}{\sqrt{n}} < \int_{1}^{2022} \frac{1}{\sqrt{x}} dx
\]
\[
= 2 \left( \sqrt{2022} - \sqrt{1} \right) = 2 \times 45 = 90
\]
Așadar, suma cerută este mai mică decât 90. Dar 90 este, evident, mai mic decât 1001. Prin urmare, suma este cu siguranță mai mică decât 1001.
