Răspuns:
a) Pentru a demonstra că dreptele CA și CE sunt perpendiculare, vom utiliza proprietatea triunghiului isoscel care spune că într-un triunghi isoscel, înălțimea, mediatoarea și bisectoarea corespunzătoare laturii egale coincid.
Dreapta CE este mediatoarea laturii CD în triunghiul ECD, iar dreapta CA este înălțimea triunghiului ABC pornind din vârful A.
Deoarece triunghiul ECD este echilateral, mediatoarea laturii este și în același timp bisectoarea unghiului corespunzător, iar aceasta este și înălțimea triunghiului. Prin urmare, CA și CE coincid și sunt perpendiculare.
b) Pentru a demonstra că AFDE este un paralelogram, vom utiliza proprietățile paralelogramului, care spune că laturile opuse ale unui paralelogram sunt egale și că diagonalele sale se intersectează în punctul lor de mijloc.
Avem BF = 2FC, ceea ce înseamnă că F este punctul de mijloc al segmentului BC. Acum, deoarece triunghiul ABC este isoscel, punctul de mijloc al laturii BC coincidență cu vârful triunghiului isoscel este și mijlocul liniei AB.
Așadar, F este și punctul de mijloc al AB. Acum, dacă conectăm punctele A și E, avem dreapta AE care trece prin mijlocul ambelor laturi AD și BE ale paralelogramului AFDE. Prin urmare, AE este și linia de mijloc a laturii AD, ceea ce indică faptul că AD este jumătate din lungimea lui AE.
Din proprietățile paralelogramului, știm că laturile opuse sunt egale, deci AD = EF. Astfel, avem AFDE un paralelogram, deoarece laturile opuse sunt egale și diagonalele se intersectează în mijloc.
