a) Pentru a arăta că \(10 = 1^2 + 3^2\) și \(100 = 6^2 + 8^2\), putem simplifica fiecare expresie:
\[10 = 1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10\]
\[100 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\]
Deci, \(10\) și \(100\) se pot scrie ca sume de două pătrate perfecte.
b) Putem generaliza ideea prin inducție matematică. Presupunem că există numere întregi nenule \(a\) și \(b\) astfel încât \(10^n = a^2 + b^2\) pentru un anumit \(n\).
Pentru cazul de bază, \(n = 1\), avem \(10^1 = 1^2 + 3^2\), așa cum am arătat anterior.
Presupunem că pentru un anumit \(k\), \(10^k = p^2 + q^2\), unde \(p\) și \(q\) sunt numere întregi.
Vom arăta că pentru \(k + 1\), există \(x\) și \(y\) astfel încât \(10^{k+1} = x^2 + y^2\).
Pornind de la \(10^{k+1} = 10 \times 10^k\), putem folosi presupunerea noastră de mai sus: \(10^k = p^2 + q^2\).
\[10 \times 10^k = 10 \times (p^2 + q^2) = (10p)^2 + (10q)^2\]
Deci, am arătat că \(10^{k+1}\) se poate scrie ca o sumă de două pătrate perfecte, folosind ipoteza noastră inductivă. Astfel, prin inducție matematică, pentru orice număr natural nenul \(n\), \(10^n\) se poate scrie ca o sumă de două pătrate perfecte.
