Răspuns:
Vom folosi inducția matematică pentru a demonstra că \(30^n\) divide expresia \(5^n \cdot 6^n + 15^n \cdot 2^{n+1} + 1\).
**PASUL DE BAZĂ (n = 1):**
\[30^1 = 30 \ \text{divide} \ (5^1 \cdot 6^1 + 15^1 \cdot 2^{1+1} + 1)\]
\[30 \ \text{divide} \ (30 + 60 + 1)\]
\[30 \ \text{divide} \ 91\]
**PASUL DE INDUCȚIE:**
Presupunem că \(30^n\) divide \(5^n \cdot 6^n + 15^n \cdot 2^{n+1} + 1\) pentru un \(n\) arbitrar, și trebuie să arătăm că \(30^{n+1}\) divide \(5^{n+1} \cdot 6^{n+1} + 15^{n+1} \cdot 2^{(n+1)+1} + 1\).
Pornim de la expresia dată:
\[5^{n+1} \cdot 6^{n+1} + 15^{n+1} \cdot 2^{(n+1)+1} + 1\]
Putem să factorizăm \(5^{n+1} \cdot 6^{n+1}\) astfel:
\[5^{n+1} \cdot 6^{n+1} = 5^n \cdot 6^n \cdot 5 \cdot 6 = 30^n \cdot 30\]
Deci, expresia devine:
\[30 \cdot 30^n + 15^{n+1} \cdot 2^{(n+1)+1} + 1\]
Din ipoteza de inducție, \(30^n\) divide primul termen \(30 \cdot 30^n\). De asemenea, 30 divide \(15^{n+1}\), iar \(2^{(n+1)+1}\) este un multiplu de 4.
Prin urmare, putem spune că fiecare termen este divizibil cu \(30\) și, prin urmare, \(30^{n+1}\) divide întreaga expresie.
Prin inducție matematică, am arătat că \(30^n\) divide \(5^n \cdot 6^n + 15^n \cdot 2^{n+1} + 1\) pentru orice \(n\) natural.
