Răspuns:
a.) Calculul limitelor:
1. \(\lim_{{x \to \infty}} e^x\) este infinit.
2. \(\lim_{{x \to \infty}} f(x)\) se poate aproxima prin observarea coeficientului dominant al termenului cu cea mai înaltă putere a lui \(x\), care este \(x^3\). Astfel, \(\lim_{{x \to \infty}} f(x) = \lim_{{x \to \infty}} x^3 = \infty\).
Deci, \(\lim_{{x \to \infty}} e^x \cdot f(x) = \infty \cdot \infty\), iar aceasta poate lua diverse forme, fiind necesar să se facă o analiză mai detaliată a funcției \(f(x)\) și a comportamentului acesteia.
b.) Pentru a arăta că graficul funcției \(f\) intersectează axa Ox în trei puncte, trebuie să găsim rădăcinile ecuației \(f(x) = 0\).
\(f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 2\)
Putem folosi metode precum metoda lui Newton-Raphson sau metoda de căutare a rădăcinilor pentru a găsi aceste puncte.
c.) Pentru a demonstra că punctele de extrem local ale graficului funcției \(f\) și punctul său de inflexiune sunt coliniare, trebuie să analizăm derivatele funcției și să identificăm punctele critice.
Vom calcula:
1. Derivata întâi \(f'(x)\) și identificăm punctele de extrem local.
2. Derivata a doua \(f''(x)\) pentru a găsi punctul de inflexiune.
Ulterior, vom verifica dacă aceste puncte sunt coliniare, ceea ce presupune că dreapta care le unește este dreapta tangentă la grafic în acele puncte.
