Răspuns:
Vom nota primul număr natural consecutiv ca \(a\). Știind că primul și al treilea număr sunt direct proporționale cu 10 și 14, putem scrie:
\[ a = 10k \]
\[ a + 2d = 14k \]
Unde \(d\) este diferența comună dintre termeni și \(k\) este un factor. Putem rezolva acest sistem de ecuații pentru a găsi valorile lui \(a\) și \(d\).
Substituind prima ecuație în a doua, obținem:
\[ 10k + 2d = 14k \]
\[ 2d = 4k \]
\[ d = 2k \]
Acum știm că \(d = 2k\). Putem folosi acest rezultat în prima ecuație:
\[ a = 10k \]
Deci, primele 25 de numere naturale consecutive vor fi:
\[ a, a+d, a+2d, \ldots, a + 24d \]
Substituind \(d = 2k\), obținem:
\[ a, a+2k, a+4k, \ldots, a + 48k \]
Și suma acestora este o progresie aritmetică care poate fi calculată cu formula:
\[ S = \frac{n}{2} \cdot (2a + (n-1)d) \]
Pentru \(n = 25\), \(a = 10k\), \(d = 2k\), obținem:
\[ S = \frac{25}{2} \cdot (20k + 48k) \]
Simplificând, avem:
\[ S = 25 \cdot 34k \]
Deci, suma a 25 de numere naturale consecutive, având primul și al treilea număr proporționale cu 10 și 14, este \( 850k \), unde \( k \) este un factor.
