Răspuns:
a) Pentru a afla lungimea segmentului MN, putem observa că A2A4 este format din A2A3 și A3A4. Lungimea A2A3 este 2^2 cm = 4 cm, iar lungimea A3A4 este 2^3 cm = 8 cm. Deci, lungimea totală a segmentului A2A4 este 4 cm + 8 cm = 12 cm. Deoarece M este mijlocul segmentului A2A4, lungimea MN va fi jumătate din lungimea A2A4, adică 12 cm / 2 = 6 cm.
b) Pentru a determina numărul natural p astfel încât A₁Ap = 2047 cm, putem observa că fiecare termen al șirului A0, A1, A2, ... este o putere a lui 2. Deci, putem exprima A₁Ap ca 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^(p-1). Aceasta este o sumă a unei progresii geometrice și poate fi calculată folosind formula: S = (a * (r^p - 1)) / (r - 1), unde a este primul termen (a = 1) și r este rația comună (r = 2). Înlocuind în formula, avem: 2047 = (1 * (2^p - 1)) / (2 - 1). Simplificând, obținem: 2047 = 2^p - 1. Pentru a găsi p, putem rezolva această ecuație: 2^p = 2048. Observăm că 2048 este 2^11, deci p = 11.
Deci, lungimea segmentului MN este 6 cm și p = 11.
