Răspuns:
Pentru a rezolva aceasta problema, trebuie sa folosim proprietatile ecuatiilor de gradul 2 legate de radacinile acestora.
Stim ca ecuatia data, x²+2x-5=0, are doua radacini distincte, x1 si x2. Dorim sa formam ecuatia de gradul 2 cu radacinile y1=3x1 si y2=3x2.
Pentru a gasi aceasta ecuatie, putem urma urmatorii pasi:
1. Inmultim radacinile x1 si x2 cu 3 pentru a obtine y1 si y2: y1=3x1 si y2=3x2.
2. Deoarece y1 si y2 sunt radacinile ecuatiei de gradul 2 pe care dorim sa o gasim, putem scrie ecuatia in forma generala:
y² + py + q = 0, unde p si q sunt coeficienti necunoscuti.
3. Pentru a gasi valorile lui p si q, putem folosi urmatoarele proprietati ale ecuatiilor de gradul 2:
- Suma radacinilor unei ecuatii de gradul 2 este -p. Deci, y1 + y2 = -p.
- Produsul radacinilor unei ecuatii de gradul 2 este q. Deci, y1*y2 = q.
4. Inlocuim y1 si y2 in ecuatiile de mai sus:
y1 + y2 = -p
3x1 + 3x2 = -p
3(x1 + x2) = -p
3 * (-2) = -p (deoarece x1 + x2 = -2 conform coeficientului lui x in ecuatia initiala)
-6 = -p
p = 6
y1 * y2 = q
3x1 * 3x2 = q
9x1 * x2 = q
9 * (-5) = q (deoarece x1 * x2 = -5 conform coeficientului liber din ecuatia initiala)
-45 = q
5. Inlocuim valorile lui p si q in ecuatia generala:
y² + py + q = 0 devine
y² + 6y - 45 = 0
Astfel, ecuatia de gradul 2 cu radacinile y1 = 3x1 si y2 = 3x2 este y² + 6y - 45 = 0.
