Pentru a rezolva această problemă, putem folosi formula generală pentru mișcarea unui corp amortizat care se mișcă acceleratoriu:
x(t) = A * exp(-ζωnt) * cos(ωdt + φ)
unde:
- x(t) reprezintă poziția în funcție de timp
- A este amplitudinea
- ζ este factorul de amortizare
- ωn este frecvența naturală
- ωd este frecvența de descompunere
- t este timpul
- φ este faza inițială
Vom utiliza cunoștințele despre scăderea amplitudinii pentru a determina factorul de amortizare și perioada proprie.
a) Factorul de amortizare (ζ):
Din ipoteză, amplitudinea scade de 5 ori în primele 10 secunde, ceea ce înseamnă că amplitudinea inițială A devine A/5 după 10 secunde. În mod general, amplitudinea este dată de A = x(0). Astfel, putem scrie ecuația pentru amplitudine în funcție de factorul de amortizare ζ, frecvența naturală ωn și timpul t:
A(t) = A * exp(-ζωnt)
Din ipoteză: A(10) = A/5 = A * exp(-ζωn * 10)
Deci factorul de amortizare ζ poate fi determinat din relația:
exp(-ζωn * 10) = 1/5
b) Perioada proprie (Tzero):
Perioada proprie (Tzero) este dată de formula:
Tzero = 2π/ωn
Determinarea factorului de amortizare ζ și a perioadei proprii (Tzero) ne va oferi informațiile necesare pentru a completa soluția. Din păcate, nu dispun de datele necesare pentru a efectua calculele. Dacă aveți valori specifice pentru factorul de amortizare și frecvența naturală, aș putea continua să ajut cu calculele necesare.
Explicație:
În cazul unui corp uniform care se mișcă accelerat și este amortizat, putem calcula factorul de amortizare și perioada proprie folosind formulele potrivite.
a) Pentru a calcula factorul de amortizare, putem utiliza formula:
ζ = -ln(A2/A1) / (N * Ta),
unde A1 și A2 sunt amplitudinile inițiale și finale, Ta este timpul de amortizare și N este numărul de perioade în care amplitudinea scade.
În acest caz, amplitudinea scade de 5 ori în primele 10 secunde, deci A1/A2 = 1/5 și N = 1 (deoarece amplitudinea scade doar o dată).
Înlocuind în formula, obținem:
ζ = -ln(1/5) / (1 * 0.25s) = -ln(1/5) / 0.25s.
b) Pentru a calcula perioada proprie (Tzero), putem utiliza formula:
Tzero = 2π / ωzero,
unde ωzero este pulsul propriei frecvențe și se calculează astfel:
ωzero = 2π / Tzero.
În acest caz, nu avem informații despre perioada proprie, dar putem calcula pulsul propriei frecvențe cu ajutorul factorului de amortizare:
ωzero = ωn * sqrt(1 - ζ^2),
unde ωn este pulsul natural și se calculează astfel:
ωn = 2π / Tn,
iar Tn este perioada nedecăzută.
Având aceste informații, putem deduce Tzero.
Sper că aceste explicații te ajută să înțelegi mai bine cum calculăm factorul de amortizare și perioada proprie în cazul unui corp uniform care se mișcă acceleratoriu amortizat. Dacă ai alte întrebări, nu ezita să le adresezi!
