Folosim formula de calcul prescurtat:
[tex](a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 = 11+4\sqrt{7} - 2 \sqrt{(11+4\sqrt{7})(11-4\sqrt{7})} + 11-4\sqrt{7} = 22 - 2 \sqrt{11^2 - (4\sqrt{7})^2 } = 22 - 2 \sqrt{121 - 112} = 22 - 2\sqrt{9} = 22 - 2 \cdot 3 = 22 - 6 = \bf16[/tex]
O altă metodă este să scriem radicalii sub o formă mai simplă (restrângere de binom):
[tex]11+4\sqrt{7} = 11+2\sqrt{28} = 7 + 2\sqrt{28} + 4 = (\sqrt{7})^2 + 2\sqrt{7 \cdot 4} + (\sqrt{4})^2 = (\sqrt{7} + \sqrt{4})^2 = (\sqrt{7} + 2)^2 \Rightarrow \sqrt{11+4\sqrt{7}} = \sqrt{(\sqrt{7} + 2)^2} = |\sqrt{7} + 2| = \sqrt{7} + 2[/tex]
[tex]11-4\sqrt{7} = 11-2\sqrt{28} = 7 - 2\sqrt{28} + 4 = (\sqrt{7})^2 - 2\sqrt{7 \cdot 4} + (\sqrt{4})^2 = (\sqrt{7} - \sqrt{4})^2 = (\sqrt{7} - 2)^2 \Rightarrow \sqrt{11-4\sqrt{7}} = \sqrt{(\sqrt{7} - 2)^2} = |\sqrt{7} - 2| = \sqrt{7} - 2[/tex]
[tex](a-b)^2 = (\sqrt{7} - 2 - \sqrt{7} + 2)^2 = 4^2 = 16[/tex]
Se mai poate utiliza formula radicalilor compuși.
______
[tex]c = \sqrt{(8-\sqrt{3})^2 } + \sqrt{(1+\sqrt{3})^2 } = 8-\sqrt{3} + 1+\sqrt{3} = 9[/tex]
unde 8 - √3 = √64 - √3 > 0 ⇒ |8 - √3| = 8 - √3
și 1 + √3 = √1 + √3 > 0 ⇒ |1 + √3| = 1 + √3
Atunci avem:
[tex](a-b)^2+c = 16+9 = 25 = 5^2[/tex]
⇒ este pătratul unui număr natural
q.e.d.
______
Formule de calcul prescurtat:
[tex]\boxed{\boxed{\boldsymbol{(a \pm b)^{2} = a^{2} \pm 2ab + b^{2}}} \ \ \boxed{\boldsymbol{(a - b)(a + b) = a^{2} - b^{2}}}}[/tex]
______
Despre formula radicalilor compuși: https://brainly.ro/tema/10280623
