Răspuns:
a) Vom arăta că (12 | a), adică (a) este divizibil cu 12.
[a = 3^{2n+3} - 3^{2n+2} + 3^{2n+1} - 5 • 3^{2n}]
Factorizăm (3^{2n}) din toți termenii:
[a = 3^{2n}left(3^3 - 3^2 + 3 - 5right)]
Simplificăm paranteza:
[a = 3^{2n}(27 - 9 + 3 - 5)]
[a = 3^{2n}(16)]
[a = 2^4 times 3^{2n}]
Deoarece \(2^4\) este un multiplu de 12, \(a\) este divizibil cu 12 pentru orice \(n \in \mathbb{N^*}\).
b) Pentru a arăta că \(\sqrt{a}\) este un număr natural par, vom calcula \(\sqrt{a}\) și vom verifica că este un număr întreg și par.
\[\sqrt{a} = \sqrt{2^4 \times 3^{2n}}\]
\[\sqrt{a} = 2^2 \times 3^n\]
Deoarece 2 apare cu o putere pară (2), iar 3 este la o putere arbitrară \(n\), \(\sqrt{a}\) este un număr întreg par pentru orice \(n \in \mathbb{N}\).
