Răspuns:
a) **Distanța de la punctul H la dreapta AC:**
- Prima dată, trebuie să determinăm lungimea laturii pătratului, BC. Deoarece AB este o diagonală a pătratului și avem AB = 6 cm, putem folosi relația \(BC = \frac{AB}{\sqrt{2}}\).
- Calculăm: \(BC = \frac{6}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}\) cm.
- Dreapta AC împarte pătratul în două triunghiuri dreptunghice congruente. Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul AHF (unde AH este cateta și HF este \(BC\)):
\[AC = \sqrt{AH^2 + HF^2} = \sqrt{(6\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{2})^2} = \sqrt{72 + 18} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}\] cm.
Deci, distanța de la punctul H la dreapta AC este \(3\sqrt{10}\) cm.
b) **Distanța de la punctul E la planul (HAC):**
- Distanța de la un punct la un plan este dată de formula \(d = \frac{|ax_1 + by_1 + cz_1 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\), unde \((x_1, y_1, z_1)\) sunt coordonatele punctului, iar \(ax + by + cz + d = 0\) este ecuația planului.
- Scriem ecuația planului (HAC). Având AC dreaptă, putem scrie ecuația planului \(ax + by + cz + d = 0\) folosind coordonatele punctelor A, C și H.
- Fie \(A(0, 0, 0)\), \(C(6, 0, 0)\) și \(H(6\sqrt{2}, 3\sqrt{2}, 0)\). Calculăm coeficienții ecuației planului.
- Obținem ecuația \(3\sqrt{2}x - 6y = 0\) pentru planul (HAC).
- Calculăm distanța de la punctul E(0, 0, 6\sqrt{2}) la planul (HAC) folosind formula de mai sus.
Astfel, distanța de la punctul E la planul (HAC) este \(\frac{|3\sqrt{2}(0) - 6(0) + 6\sqrt{2}(6\sqrt{2}) + 0|}{\sqrt{(3\sqrt{2})^2 + (-6)^2}} = \frac{|72|}{\sqrt{18 + 36}} = \frac{72}{\sqrt{54}} = \frac{24}{\sqrt{6}}
Cam greu, dar sper ca am ajutat. Pwp!
