[tex] 6 \cdot 9^{3x} -13 \cdot 6^{3x} +6 \cdot 4^{3x} =0 [/tex]
Putem să descompunem termenii, astfel încât să ne iasă un factor , ca după să îl egalăm cu 0.
Prima dată calculăm fiecare termen:
[tex] 6 \cdot 9^{3x} =2 \cdot 3 \cdot 3^{6x} = 2 \cdot 3^{6x+1} \\ 6 \cdot 4^{3x} = 3\cdot 2 \cdot 2^{6x} [/tex]
Îi aranjăm înapoi în ecuație:
[tex] 3\cdot 2^{6x+1} -13 \cdot 6^{3x} + 2 \cdot 3^{6x+1} =0 \\ \scriptsize 3 \cdot 2^{3x} \cdot 2^{3x+1} -3^2 (3\cdot 2)^{3x} -2^2 (3\cdot 2)^{3x} +2\cdot 3^{3x} \cdot 3^{3x+1} =0 \\ (3\cdot 2^{3x} -2\cdot 3^{3x} )(2^{3x+1} -3^{3x+1}) =0 [/tex]
Da, este un pic mai greu de văzut, dar te gândești cum ai minus acolo ai putea avea ceva formula asemănătoare cu (a-b) la puterea a doua, însă factorizata.
Însă nu te gândi așa mereu la aceste exerciții, fiindcă mereu se poate să existe un răspuns mai ușor/ mai greu pe care l-ai sărit cu ochiul din acest motiv, depinde de fiecare ex.
Legat de problema noastră, însă, am reușit să factorizăm, iar acum trebuie egalate ambele paranteze cu 0.
[tex] 3\cdot 2^{3x} -2\cdot 3^{3x} =0 \\ 3\cdot 8^x =2\cdot 27^x \\ 3\cdot \left( \dfrac{8}{27} \right)^x = 2 \\ \left( \dfrac{8}{27} \right)^x =\dfrac{2}{3} \\ \left( \dfrac{2}{3} \right)^{3x}=\dfrac{2}{3} \implies 3x=1 \implies \tt x_1 =\dfrac{1}{3} [/tex]
Am aflat primul x, iar acum pe al 2-lea:
[tex] 2^{3x+1} -3^{3x+1} =0 \\ 2^{3x+1} =3^{3x+1} \\ \left(\dfrac{2}{3}\right)^{3x+1} =1 \\ \left( \dfrac{2}{3} \right)^{3x+1}=\left(\dfrac{2}{3}\right)^0 \\ 3x+1 =0 \implies \tt x_2 =-\dfrac{1}{3} [/tex]
Deci soluția finală am aflat
[tex] \tt S=\left\{ -\dfrac{1}{3} , \dfrac{1}{3}\right\} [/tex]
