Răspuns:
Explicație pas cu pas:
Fie z =
(\frac{1-i\sqrt{3}}{2(sin(x)+i\times cos(x))})^{6}
Determinați numerele reale x pentru care z aparține de R.
Rezolvare:
Pentru ca z să aparțină de R, trebuie să fie îndeplinite următoarele condiții:
|z| ≥ 0
arg(z) ∈ [-π, π]
În cazul z = , avem:
|z| = |(\frac{1-i\sqrt{3}}{2(sin(x)+i\times cos(x))})^{6}|
|z| = |1-i\sqrt{3}|^{6} |2(sin(x)+i\times cos(x))|^{-6}
|z| = |1-i\sqrt{3}|^{6} |2|^{-6} |sin(x)|^{-6} |cos(x)|^{-6}
|z| = 3^{6} |sin(x)|^{-6} |cos(x)|^{-6}
Pentru ca |z| ≥ 0, trebuie să fie îndeplinită condiția |sin(x)|^{-6} |cos(x)|^{-6} ≥ 0. Această condiție este îndeplinită pentru orice valoare reală a lui x.
arg(z) = arg\left[(\frac{1-i\sqrt{3}}{2(sin(x)+i\times cos(x))})^{6}\right]
arg(z) = 6\times arg\left(\frac{1-i\sqrt{3}}{2(sin(x)+i\times cos(x))}\right)
arg(z) = 6\times arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}\sin(x)}\right)
Pentru ca arg(z) ∈ [-π, π], trebuie să fie îndeplinită condiția -π ≤ 6\times arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}\sin(x)}\right) ≤ π. Această condiție este îndeplinită pentru orice valoare reală a lui x, cu excepția lui x = 0.
Prin urmare, numerele reale x pentru care z aparține de R sunt toate numerele reale, cu excepția lui x = 0.
Răspuns:
x ∈ R \ {0}
O altă modalitate de a rezolva această problemă este să folosim formula de Euler pentru exponențierea numerelor complexe:
z = e^{6i\times arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}\sin(x)}\right)}
Această formulă ne spune că z este un număr complex de forma e^(i * θ), unde θ este argumentul lui z. Pentru ca z să aparțină de R, trebuie să fie îndeplinită condiția θ ∈ [-π, π]. Această condiție este îndeplinită pentru orice valoare reală a lui x, cu excepția lui x = 0.
Prin urmare, concluzia este aceeași.
