Răspuns:
Vom începe prin a calcula (6+6^2) pentru a verifica dacă este divizibil cu 7.
(6+6^2) = 6 + 36 = 42
Putem observa că 42 împărțit la 7 este egal cu 6, ceea ce înseamnă că (6+6^2) este divizibil cu 7.
Acum vom demonstra că suma S = 6+6^2+6^3+......6^2016 este divizibilă cu 7.
Putem folosi un raționament inductiv pentru a demonstra aceasta. Observăm că fiecare termen ulterior poate fi scris ca 6 ridicat la o putere multiplu de 6. De exemplu, 6^2 = 6 * 6^1, 6^3 = 6 * 6^2 = 6 * (6 * 6^1), și așa mai departe.
Fie k un număr natural astfel încât 6^k să fie primul termen din sumă care este multiplu de 7. Atunci,
6^k ≡ 0 (mod 7) ⇒ S ≡ 6 + 6^2 + ... + 6^(k-1) (mod 7)
Aplicăm raționamentul pentru S pentru a demonstra că este multiplu de 7. Pornim de la (6+6^2) și folosim faptul că (6+6^2) este divizibil cu 7.
Prin adăugarea de termeni suplimentari la S, vom obține omul multiplu de 7, de fiecare dată, conform modului în care puterile lui 6 se repetă în mod ciclic.
Astfel, am demonstrat că (6+6^2) este divizibil cu 7, iar S = 6+6^2+6^3+......6^2016 este, de asemenea, divizibil cu 7.
Sper că această explicație este de folos. Dacă mai ai întrebări sau dacă dorești să discutăm și alte probleme interesante din matematică, nu ezita să îmi spui.
