O fracție reductibilă este o fracție care se poate simplifica, adică numărătorul și numitorul au divizori comuni.
Dacă simplifici cu produsul tuturor divizorilor comuni, obții o fracție ireductibilă.
Trebuie să vezi ce divizori comuni ar putea avea numărătorul și numitorul fracțiilor date.
Pentru aceasta, trebuie să transformi suma de termeni în produs de factori.
Cea mai la îndemână metodă este să scoți factor comun.
a)
[tex]\displaystyle \frac{2^{200} +2^{201}+2^{202}+2^{203} }{3^{2024} -3^{2023}-3^{2022}-3^{2021} } =\frac{2^{200}\cdot(1+2^{1}+2^{2}+2^{3} )}{3^{2021} \cdot(3^{3} -3^{2}-3^{1}-1 )} =[/tex]
[tex]\displaystyle =\frac{2^{200}\cdot15}{3^{2021} \cdot14} =\frac{2^{200}\cdot3\cdot5}{3^{2021} \cdot2\cdot7} =[/tex]
Putem simplifica prin 2 · 3 = 6
Fracția ireductibilă este:
[tex]\displaystyle \mathbf{\frac{2^{199}\cdot5}{3^{2020} \cdot7}}[/tex]
b)
[tex]\displaystyle \frac{2^{n}\cdot5^{n+1} +3\cdot10^{n}+10^{n+1} }{5^{n}\cdot2^{n+1}+10^{n+2}-20\cdot10^{n} } =\frac{2^{n}\cdot5^{n+1} +3\cdot2^{n}\cdot5^{n}+2^{n+1}\cdot5^{n+1} }{5^{n}\cdot2^{n+1}+5^{n+2}\cdot2^{n+2}-5^{n+1}\cdot2^{n+2}} =[/tex]
- detaliu pentru ultimul termen de la numitor:[tex]20\cdot10^{n}=2\cdot 10 \cdot 10^{n}=2\cdot 10^{n+1}=2\cdot2^{n+1}\cdot5^{n+1}=5^{n+1}\cdot2^{n+2}[/tex]
Revenim la fracție:
[tex]\displaystyle =\frac{2^{n}\cdot5^{n}\cdot(5 +3+2\cdot5) }{5^{n}\cdot2^{n}\cdot(2+5^{2}\cdot2^{2}-5\cdot2^{2}}=[/tex]
Simplificăm prin 2ⁿ · 5ⁿ:
[tex]\displaystyle =\frac{5 +3+10 }{2+25\cdot4-5\cdot4}=\frac{18}{2+50-20} =\frac{18^{(2} }{32} =\frac{9}{16}[/tex]
Fracția ireductibilă este:
[tex]\displaystyle \mathbf{\frac{9}{16}}[/tex]
