Vom amplifica fracțiile și vom raționaliza numitorii
[tex]\dfrac{1}{1+\sqrt{2} } + \dfrac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3} } + \dfrac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4} }+ ... + \dfrac{1}{\sqrt{2011} + \sqrt{2012} } = \\[/tex]
[tex]= \dfrac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2} -1)} + \dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2}) } + \dfrac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{(\sqrt{4}+\sqrt{3})(\sqrt{4}-\sqrt{3}) }+ ... +\\[/tex]
[tex]+\dfrac{\sqrt{2011}-\sqrt{2010}}{(\sqrt{2011}+\sqrt{2010})(\sqrt{2011}-\sqrt{2010}) } + \dfrac{\sqrt{2012}-\sqrt{2011}}{(\sqrt{2012}+\sqrt{2011})(\sqrt{2012}-\sqrt{2011}) } \\[/tex]
[tex]\boxed{\boldsymbol{(a - b)(a + b) = a^{2} - b^{2}}}[/tex]
[tex]= \dfrac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2})^2-1^2} + \dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2} + \dfrac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{(\sqrt{4})^2-(\sqrt{3})^2 }+ ... +\\[/tex]
[tex]+\dfrac{\sqrt{2011}-\sqrt{2010}}{(\sqrt{2011})^2-(\sqrt{2010})^2} + \dfrac{\sqrt{2012}-\sqrt{2011}}{(\sqrt{2012})^2-(\sqrt{2011})^2}[/tex]
[tex]= \dfrac{\sqrt{2} - 1}{2-1} + \dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2} + \dfrac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{4-3}+ ... +\dfrac{\sqrt{2011}-\sqrt{2010}}{2011-2010} + \dfrac{\sqrt{2012}-\sqrt{2011}}{2012-2011}\\[/tex]
[tex]= \dfrac{\sqrt{2} - 1}{1} + \dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{1} + \dfrac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{1}+ ... +\dfrac{\sqrt{2011}-\sqrt{2010}}{1} + \dfrac{\sqrt{2012}-\sqrt{2011}}{1}\\[/tex]
[tex]= \not\sqrt{2}-1+\not\sqrt{3}-\not\sqrt{2}+\not\sqrt{4}-\not\sqrt{3}+ ... +\not\sqrt{2011}-\not\sqrt{2010}+\sqrt{2012}-\not\sqrt{2011}\\[/tex]
[tex]= - 1 + \sqrt{2012} = \sqrt{2012} - 1[/tex]
[tex]= \bf2\sqrt{503} - 1[/tex]
______
✨ Prin raționalizarea numitorului unei fracții înțelegem procedeul prin care transformăm o fracție cu numitor irațional într-o fracție cu numitor rațional.
✨ Dacă numitorul este de forma √a – √b, vom amplifica cu conjugata, adică cu √a + √b, iar la numitor vom obține a – b
✨ Dacă numitorul este de forma √a + √b, vom amplifica cu conjugata, adică cu a – √b, iar la numitor vom obține a – b
______
Rezolvarea la o temă asemănătoare:
