Din teorema împărțirii cu rest:
[tex]\boldsymbol{D = \hat{I} \cdot C + R, \ \ 0 \leq R < \hat{I}}[/tex]
Observăm că între împărțitor și rest există aceeași diferență, adică 10. Vom aduna 10 la fiecare relație, apoi vom da factor comun:
[tex]n = 120 \cdot c_{1} + 110 \ \ \Big|(+10) \Rightarrow \boldsymbol{ n + 10} = 120 \cdot c_{1} + 120 = 120 \cdot (c_{1} + 1)[/tex]
[tex]n = 160 \cdot c_{2} + 150 \ \ \Big|(+10) \Rightarrow \boldsymbol{ n + 10} = 160 \cdot c_{2} + 160 = 160 \cdot (c_{2} + 1)[/tex]
[tex]n = 180 \cdot c_{3} + 170 \ \ \Big|(+10) \Rightarrow \boldsymbol{ n + 10} = 180 \cdot c_{3} + 180 = 180 \cdot (c_{3} + 1)[/tex]
Numărul (n + 10) este multiplu al numerelor 120, 160, 180. Calculăm cel mai mic multiplu comun al celor 3 numere:
[tex]120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5; \ 160 = 2^{5} \cdot 5; \ 180 = 2^{2} \cdot 3^2 \cdot 5 \Rightarrow c.m.m.m.c.[120,160,180] = 2^{5} \cdot 3^{2} \cdot 5 = \bf 1440\\[/tex]
[tex]n + 10 = 1440 \Rightarrow n = 1440 - 10 \Rightarrow \boldsymbol{n = 1430}\\[/tex]
⇒ cel mai mic număr natural cu proprietatea indicată este 1430
______
✍ Cel mai mic multiplu comun al două numere a și b este prescurtat c.m.m.m.c. și este scris [a,b]. Se descompun numerele a și b în factori primi, după care înmulțim factorii primi comuni și necomuni, la puterea cea mai mare.
______
Accesând link-ul brainly.ro/tema/10703910 putem studia rezolvarea unui exercițiu asemănător
