Răspuns :
Pentru a arăta că \(7^n - 5^n\) este divizibil cu 5 pentru orice număr natural \(n\), putem folosi inducția matematică.
1. **Cazul de bază \(n = 1\):**
\(7^1 - 5^1 = 2\) este divizibil cu 5.
2. **Ipoteza de inducție:**
Presupunem că pentru un anumit \(k\) natural, expresia \(7^k - 5^k\) este divizibilă cu 5.
3. **Pasul de inducție:**
Trebuie să arătăm că și pentru \(k + 1\) aceeași condiție este îndeplinită.
\(7^{k+1} - 5^{k+1} = 7 \cdot 7^k - 5 \cdot 5^k\)
Putem împărți acest termen în \(7 \cdot 7^k - 5 \cdot 5^k\) și \(5 \cdot 7^k - 5 \cdot 5^k\).
Din ipoteza de inducție, știm că \(7^k - 5^k\) este divizibil cu 5.
Din simplificare, obținem \(5 \cdot (7^k - 5^k)\), deci este divizibil cu 5.
Astfel, \(7^{k+1} - 5^{k+1}\) este produsul a două termeni divizibili cu 5 și, prin urmare, este divizibil cu 5.
Prin urmare, am demonstrat că \(7^n - 5^n\) este divizibil cu 5 pentru orice \(n\) număr natural.
Vă mulțumim că ați ales să vizitați platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile disponibile v-au fost utile. Dacă aveți întrebări suplimentare sau aveți nevoie de sprijin, nu ezitați să ne contactați. Vă așteptăm cu drag și data viitoare! Nu uitați să adăugați site-ul nostru la favorite pentru acces rapid.