Cum rezolvăm radicalii compuși?
Putem rezolva în două moduri:
◉ se observă o restrângere a unui binom sub radical și se aplică formula:
[tex]\boxed{\boldsymbol{\bigg|\sqrt{(a \pm b)^2} = |a \pm b|}}[/tex]
◉ sau se utilizează formula radicalilor compuși:
______
a) Vom utiliza prima metodă.
● Avem 7 - 2·√6. Ne interesează 2 numere care au suma 7 și produsul 6
[tex]\begin{cases}m + n = 7 \\m \cdot n = 6 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}m = 6 \\ n = 1 \end{cases} \Rightarrow (\sqrt{6} - \sqrt{1})^2[/tex]
unde a = √m, b = √n
[tex]\boldsymbol{(a \pm b)^{2} = a^{2} \pm 2ab + b^{2}}[/tex]
[tex]\sqrt{7 - 2\sqrt{6} } = \sqrt{6 - 2\sqrt{6} + 1} = \sqrt{(\sqrt{6})^2 - 2 \cdot \sqrt{6} \cdot 1 + 1^2} = \sqrt{(\sqrt{6} - 1)^2} = |\sqrt{6} - 1| = \sqrt{6} - 1[/tex]
● Pentru 10 - 4·√6, vom introduce un 2 sub radical (trebuie să păstrăm doar coeficientul 2 în fața radicalului) ⇒ 10 - 2·√24. Ne interesează 2 numere care au suma 10 și produsul 24
[tex]\begin{cases}m + n = 10 \\m \cdot n = 24 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}m = 6 \\ n = 4 \end{cases} \Rightarrow (\sqrt{6} - \sqrt{4})^2[/tex]
[tex]\sqrt{10 - 2\sqrt{24} } = \sqrt{6 - 2\sqrt{6 \cdot 4} + 4} = \sqrt{(\sqrt{6})^2 - 2 \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{4} + (\sqrt{4})^2} = \sqrt{(\sqrt{6} - 2)^2} = |\sqrt{6} - 2| = \sqrt{6} - 2[/tex]
● Pentru 7 + 2·√6 este aceeași formulă ca mai sus, dar cu semnul plus
[tex]\sqrt{7 + 2\sqrt{6} } = \sqrt{6 + 2\sqrt{6} + 1} = \sqrt{(\sqrt{6} + 1)^2} = |\sqrt{6} + 1| = \sqrt{6} + 1[/tex]
Putem să calculăm numărul x:
[tex]x = \sqrt{6} - 1 - 2 \cdot (\sqrt{6} - 2) + \sqrt{6} + 1 = 2\sqrt{6} - 2 \cdot \sqrt{6} + 4 = 4 = \bf 2^2[/tex]
======
b) Explicităm modulele:
● √(4√5+3)² = |4√5+3| = 4√5+3, unde 4√5+3 > 0
● √(2√5-6)² = |2√5-6| = 6-2√5, unde 2√5-6 = √20-√36 < 0
● 14 + 6√5 = 14 + 2√45. Ne interesează 2 numere care au suma 14 și produsul 45 ⇒ 9+5=14, 9·5=45
[tex]\begin{cases}m + n = 14 \\m \cdot n = 45 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}m = 9 \\ n = 5 \end{cases} \Rightarrow (\sqrt{9} + \sqrt{5})^2[/tex]
[tex]\sqrt{14 + 6\sqrt{5} } = \sqrt{(\sqrt{9} + \sqrt{5})^2} = \sqrt{(3+\sqrt{5})^2} = |3+\sqrt{5}| = 3+\sqrt{5}[/tex]
● 21 - 8√5 = 21 - 2√80. Ne interesează 2 numere care au suma 21 și produsul 80 ⇒ 16+5=21, 16·5=80
[tex]\begin{cases}m + n = 21 \\m \cdot n = 80 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}m = 16 \\ n = 5 \end{cases} \Rightarrow (\sqrt{16} - \sqrt{5})^2[/tex]
[tex]\sqrt{21 - 8\sqrt{5} } = \sqrt{(\sqrt{16} - \sqrt{5})^2} = \sqrt{(4-\sqrt{5})^2} = |4-\sqrt{5}| = 4-\sqrt{5}[/tex]
[tex]x = (4\sqrt{5}+3) + 3 \cdot (3+\sqrt{5}) + 2 \cdot (6 - 2\sqrt{5}) + 3 \cdot (4-\sqrt{5}) = 4\sqrt{5} + 3 + 9 + 3\sqrt{5} + 12 - 4\sqrt{5} + 12 - 3\sqrt{5} = (7\sqrt{5} - 7\sqrt{5}) + 36 = \bf6^2[/tex]
======
[tex]c) \ x = \sqrt{(\sqrt{3} - 1)^2} + \sqrt{(\sqrt{5} - \sqrt{3})^2} + \sqrt{(4 - \sqrt{5})^2} + \sqrt{(\sqrt{2} - 1)^2} + \sqrt{(2 - \sqrt{2})^2} = |\sqrt{3} - 1| + |\sqrt{5} - \sqrt{3}| + |4 - \sqrt{5}| + |\sqrt{2} - 1| + |2 - \sqrt{2}| = \sqrt{3} - 1 + \sqrt{5} - \sqrt{3} + 4 - \sqrt{5} + \sqrt{2} - 1 + 2 - \sqrt{2} = 4 = \bf2^2[/tex]
======
[tex]d) \ x = \sqrt{(3 - \sqrt{2})^2} + \sqrt{(2\sqrt{2} - 1)^2} - \sqrt{(\sqrt{2} + 1)^2} = |3 - \sqrt{2}| + |2\sqrt{2} - 1| - |\sqrt{2} + 1| = 3 - \sqrt{2} + 2\sqrt{2} - 1 - \sqrt{2} - 1 = 1 = \bf1^2[/tex]
======
[tex]e) \ x = \sqrt{(6 - \sqrt{6})^2} + \sqrt{(\sqrt{6} + 2)^2} + \sqrt{(4 - 2\sqrt{3})^2} + \sqrt{(2\sqrt{3} - 3)^2} = |6 - \sqrt{6}| + |\sqrt{6} + 2| + |4 - 2\sqrt{3}| + |2\sqrt{3} - 3| = 6 - \sqrt{6} + \sqrt{6} + 2 + 4 - 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} - 3 = 9 = \bf 3^2[/tex]
______
Mai multe despre radicali compuși aflăm aici
- brainly.ro/tema/10280623
- brainly.ro/tema/11018485
