Răspuns:
Bună! Să rezolvăm problema împreună.
a) Pentru a arăta că vectorii GQ și AC sunt coliniari, trebuie să demonstrăm că există un scalar k astfel încât GQ = k * AC.
Putem începe prin a exprima vectorii GQ și AC în funcție de vectorii A, B și C. De exemplu, putem scrie GQ = G - Q și AC = A - C.
Aplicând condiția dată în enunț, 3AQ = AB, putem înlocui AQ cu AB/3 în expresia pentru GQ: GQ = G - Q = G - A + A - Q = G - A + A - B/3.
De asemenea, putem exprima vectorul AC în funcție de vectorii A, B și C: AC = A - C.
Pentru a arăta că GQ și AC sunt coliniari, trebuie să găsim un scalar k astfel încât GQ = k * AC.
Putem compara componentele vectoriale pentru a obține relația:
G - A + A - B/3 = k * (A - C).
Simplificând această expresie, obținem:
G - A + A - B/3 = k * A - k * C.
Regrupând termenii, avem:
G - A - k * A = -B/3 - k * C.
Folosind proprietățile vectoriale, putem scrie:
(G - (1 + k) * A) = (-1/3 - k) * B.
Astfel, putem observa că relația este echivalentă cu:
(G - (1 + k) * A) = (-(1/3 + 3k)) * B.
Pentru ca această relație să fie adevărată, vectorii G - (1 + k) * A și -B trebuie să fie coliniari.
Deci, concluzia este că vectorii GQ și AC sunt coliniari.
b) Pentru a găsi valoarea lui alfa din relația QG = alfa * PM, trebuie să echivalăm vectorii QG și PM și să
