a)
Într-un triunghi dreptunghic, mediana corespunzătoare ipotenuzei are lungimea egală cu jumătate din ipotenuză.
⇒ AM = BC / 2
AM = 15 / 2
Centrul de greutate = intersecția medianelor; pe fiecare mediană, se află la două treimi de vârf și o treime de bază.
[tex]\implies \displaystyle AG=\frac{2}{3} \cdot AM = \frac{2}{3} \cdot \frac{15}{2} =\frac{15}{3}[/tex]
AG = 5 cm
b)
DG║BM ⇒ (Thales)
[tex]\displaystyle \frac{AG}{AM} =\frac{AD}{AB}=\frac{DG}{BM}[/tex]
[tex]\displaystyle \frac{5}{\frac{15}{2} } =\frac{AD}{9}=\frac{DG}{\frac{15}{2}}[/tex]
[tex]\displaystyle AD = \frac{9\cdot5}{\frac{15}{2} } =\frac{2\cdot9\cdot5}{15} =6[/tex]
[tex]\displaystyle DG = \frac{6\cdot\frac{15}{2} }{9} =\frac{6\cdot15}{2\cdot9} =5[/tex]
AG = DG = 5 ⇒ ΔADG isoscel cu baza AD
Ducem înălțimile DN⊥AG și GP⊥AD (vezi figura atașată).
DN = distanţa de la punctul D la dreapta AG
ΔADG isoscel ⇒ GP este și mediană
⇒ AP ≡ PD = AD / 2 = 3 cm
În orice triunghi, produsele între înălțimi și bazele corespunzătoare sunt egale (deoarece aria se poate calcula în funcție de trei înălțimi).
⇒ DN · AG = GP · AD
DN · 5 = GP · 6
DN = GP · 6 / 5
Aflăm GP folosind teorema lui Pitagora în ΔGRD dreptunghic în P:
GP² = AG² - AP²
GP² = 5² - 3³ = 25 - 9 = 16
GP = 4
DN = GP · 6 / 5 = 4 · 6 / 5
DN = 24 / 5 cm
