[tex] a=2^n +3^n +5^n \ \vdots \ 5 [/tex]
Observam ca 5^n se divide mereu cu 5, deci trebuie sa vedem pentru ce valori ale lui n, 2^n +3^n se divide cu 5.
Se observa 2+3=5, deci n=1
8+27=35, deci n=3
Observam ca n este de forma 2k-1(adica numere impare)
Vom demonstra ca asta este adevarat.
Ultima cifra a lui [tex] 2^{2k-1} [/tex] este 2 cand k este impar si 8 cand k este par.
Ultima cifra a lui [tex] 3^{2k-1} [/tex] este 3 pentru k impar si 7 cand k este par.
Cand k este impar, ultima cifra a sumei [tex] 2^{2k-1}+3^{2k-1} [/tex] este 2+3=5 , adica ultima cifra este 5, deci este divizibil cu 5.
Cand k este impar, ultima cifra a sumei [tex] 2^{2k-1}+3^{2k-1} [/tex] este 8+7=15, adica ultima cifra este 5, deci este divizibil cu 5 .
in ambele cazuri, este divizibil cu5.
Deci numerele n pentru care suma [tex] 2^n +3^n +5^n [/tex] se divide cu 5 este oricare [tex] \tt n \ \ impar [/tex]
RASPUNS: [tex] \tt \boxed{n \ \ impar} [/tex]
