Fiecare fracție se amplifică cu diferența termenilor de la numitor.
[tex]\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a} +\sqrt{b} } =\frac{\sqrt{a} -\sqrt{b} }{(\sqrt{a} +\sqrt{b})(\sqrt{a} -\sqrt{b} )} =\frac{\sqrt{a} -\sqrt{b} }{(\sqrt{a})^{2} -(\sqrt{b} )^{2} } =\frac{\sqrt{a} -\sqrt{b} }{a-b }[/tex]
Observăm că, în cazul exercițiului nostru, la numitor rămâne 1, ceea ce ne ajută foarte mult.
[tex]\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2} +\sqrt{1} } +\frac{1}{\sqrt{3} +\sqrt{2} } +\frac{1}{\sqrt{4} +\sqrt{3} } +...+\frac{1}{\sqrt{99} +\sqrt{98} } +\frac{1}{\sqrt{100} +\sqrt{99} } =[/tex]
[tex]=\displaystyle \frac{\sqrt{2} -\sqrt{1}}{2-1} +\frac{\sqrt{3} -\sqrt{2} }{3-2 } +\frac{\sqrt{4} -\sqrt{3}}{4-3 } +...+\frac{\sqrt{99} -\sqrt{98}}{99-98 } +\frac{\sqrt{100} -\sqrt{99}}{100-99} =[/tex]
[tex]=\sqrt{2} -\sqrt{1}+\sqrt{3} -\sqrt{2}+\sqrt{4} -\sqrt{3}+...+\sqrt{99} -\sqrt{98} +\sqrt{100} -\sqrt{99} =[/tex]
Observăm că termenii se reduc: avem √2 - √2; √3 - √3 etc. până la √99 - √99.
[tex]= -\sqrt{1}+\sqrt{100} =-1+10=\mathbf{9}[/tex]
Răspuns corect: c) 9.
