Demonstrație prin inducția matematică
Notăm:
[tex]P(n) \ \ 2^{n+1} \cdot 5^{n} + 7 \ \ \vdots \ 9[/tex]
- Pasul 1: Etapa de verificare
Verificăm dacă expresia este divizibilă cu 9 pentru n = 0:
[tex]P(0) \ \ 2^{0+1} \cdot 5^{0} + 7 = 2 + 7 = 9 \ \ \vdots \ 9 \to (A)[/tex]
- Pasul 2: Etapa de demonstrație (ipoteza de inducție
Presupunem că propoziția P(k) este adevărată (expresia este divizibilă cu 9 pentru n = k) adică propoziția P(k) ∀k∈N este adevărată:
[tex]P(k) \ \ 2^{k+1} \cdot 5^{k} + 7 \ \ \vdots \ 9 \to (A) \\[/tex]
[tex]Not\breve{a}m \ \ 2^{k+1} \cdot 5^{k} + 7 = \boldsymbol{\red{9p}}, \ \ p \in \Bbb{N^{\ast}} \\[/tex]
[tex]\Rightarrow 2^{k+1} \cdot 5^{k} = \boldsymbol{9p-7}\\[/tex]
- Pasul 3: Demonstrăm pentru n = k + 1
Trebuie să demonstrăm că, dacă ipoteza de inducție este adevărată pentru n = k, atunci ea este și adevărată pentru n = k + 1. Vom demonstra că P(k+1) este adevărată, unde k ≥ 0
[tex]P(k + 1) \ \ 2^{(k+1)+1} \cdot 5^{k+1} + 7 = 2 \cdot5 \cdot 2^{k+1} \cdot 5^{k} + 7\\[/tex]
→ înlocuim:
[tex]= 10 \cdot (9 p - 7) + 7 = 90 p -70 + 7 = 90p - 63 = \boldsymbol{\red{9}} \cdot (10p - 7) \ \vdots \ 9 \to (A) \\[/tex]
Deoarece am verificat că ipoteza este adevărată pentru n = 0 și am arătat că, dacă este adevărată pentru n = k, atunci este adevărată și pentru n = k + 1, prin urmare, conform principiului inducției matematice, expresia este divizibila cu 9 pentru orice n natural.
[tex]\Rightarrow P(k + 1) \to adev\breve{a}rat\breve{a} \Rightarrow \boldsymbol{P(n) \ este \ adev\breve{a}rat\breve{a} \ \forall n \in \Bbb{N}}\\[/tex]
