Demonstrație prin inducția matematică
Notăm:
[tex]P(n) \ \ 3^{n} > n^3, \ \ \forall n \in \Bbb{N}, n \geq 4[/tex]
- Pasul 1: Etapa de verificare
Verificăm dacă expresia este adevărată pentru n = 4:
[tex]P(0) \ \ 3^{4} = 81 > 64 = 4^3 \to (A)[/tex]
- Pasul 2: Etapa de demonstrație (ipoteza de inducție
Presupunem că propoziția P(k) este adevărată pentru ∀k∈N, k≥4:
[tex]P(k) \ \ 3^{k} > k^3 \to (A) \\[/tex]
- Pasul 3: Demonstrăm pentru n = k + 1
Trebuie să demonstrăm că, dacă ipoteza de inducție este adevărată pentru n = k, atunci ea este și adevărată pentru n = k + 1. Vom demonstra că P(k+1) este adevărată, unde k ≥ 4
[tex]P(k + 1) \ \ 3^{k+1} = 3 \cdot 3^{k} > 3 k^3 = k^3 + 2k^3 > k^3 + 2\cdot 3k^2 = k^3 + 3k^2 + 3k^2 > k^3 + 3k^2 + 3 \cdot 3k = k^3 + 3k^2 + 3k + 6k > k^3 + 3k^2 + 3k + 1 = (k+1)^3[/tex]
Deoarece am verificat că ipoteza este adevărată pentru n = 4 și am arătat că, dacă este adevărată pentru n = k, atunci este adevărată și pentru n = k + 1, prin urmare, conform principiului inducției matematice, expresia este adevărată pentru orice n natural.
[tex]\Rightarrow P(k + 1) \to adev\breve{a}rat\breve{a} \Rightarrow \boldsymbol{P(n) \ este \ adev\breve{a}rat\breve{a} \ \forall n \in \Bbb{N}}\\[/tex]
